OMM 25, San Luis Potosí

Séptimo lugar

1 oro

2 platas

3 bronces

Las malas noticias: Este año no quedamos top 3 y el problema cuatro era el peor problema cuatro de la historia.

Buenas noticias: Todos obtuvimos medalla, el 6to y el 5to lugar general no nos ganaron por mucho, era nuestro primer año y el siguiente vamos con todo!!!

Entrenate!-Problema del día

Para todos los que quieren material para entrenar acabo de encontrar esta recopilación en la pagina de la omm de Nuevo Leon.

http://olmatnl.blogspot.com/p/entrena.html

Y les dejo el problema del día

1.- Se tiene un tablero de n x n pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero: Escoger un rectángulo en la cuadrícula tal que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo (es decir, los cuadritos del rectángulo que eran negros se convierten en blancos y los que eran blancos, se convierten en negros).
Encuentra para que n's es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario.

Problemas del día 25 de Octubre

1.-Sean a, b y p enteros no negativos con p un nuumero primo. Encontrar
todas las ternas (a; b; p) tales que (a^2)(b^2) = (2^(2010))-pb.

2.- Sea p un primo. Demuestra que (p-1)!+1 es una potencia de p si y solo si p=2,3,5.

Problema 23 de octubre

Sea ABCD un cuadilátero con lados ENTEROS donde dos de sus angulos internos son rectos. Demuestra que la suma de sus lados(su perímetro) es par.

Vamos ya fué el regional y se acerca el nacional, pongan todo su esfuerzo!

Problema dia 19 de octubre de 2011

1.- Sea a,b,c>0 reales positivos tales que abc=1.

Demuestra que ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) <=1

Problemas dia 18 de octubre

Ya se acerca el regional, echenle ganas!!! Recuerden que en la página mathlinks.ro en la pestaña de contests pueden ver centros pasadas que son del nivel del nacional, o iberos pasadas que los problemas 1,2,4,5 son como 2,3,5,6 de nacional.

1.-Sea ABC un triangulo acutangulo con AB distinto de AC y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tal que BOAP y COPQ sean paralelogramos. Muestra que Q es el ortocentro de ABC.


2.-Sea H el ortocentro de un triangulo acutangulo ABC. El circulo con centro en punto medio de BC que pasa por H intersecta a BC en A_1 y A_2. De manera analoga se definen B_1,B_2,C_1,C_2.
Demuestra que los seis puntos A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 son conciclicos.

Calificaciones de los ultimos dos examenes

A todos les falta el problema de geometria del ultimo examen y a Nidia y Paulina les falta
tambien el problema de geometria del segundo examen

Diego 4 1 3 3 7
Victor 1 1 1 0 0
Nidia 1 7 3 0
Paulina 0 3 0 0
Omar 1 1 2 0 0
Anthony 1 7 7 0 0
Jesus 1 1 4 0 0
Adrian 0 0 1 0 0
Eduardo 0 1 7 0 0
Orlando 5 0 0 0 0

Resultados segundo examen

Diego 8
Victor 2
Nidia -
Paulina -
Omar 4
Anthony 15
Jesus 4
Adrian 1
Eduardo 5
Orlando 5

Tareas #4 (Geometría del día del examen)

Calificaciones de examen

Diego 19
Victor 7
Nidia 15
Paulina 14
Omar 6
Anthony 20
Jesus 8
Adrian 16
Eduardo 11
Orlando 6

Examen Manana

Hola a Todos

Si manana llegan todos temprano, voy a poner el examen en la manana, digamos a las 10.

Examen proxima semana

Hola a Todos

El primer examen de la quinta etapa sera el
viernes por la tarde para todos.
Ya no habra examen ni jueves ni sabado.

El entrenamiento empieza como siempre el viernes por la manana
y despues de la comida el examen.

Los que no presenten este examen el viernes tendran cero puntos.

Tarea

Soluciones de Tarea #2

Para los problemas de Rogelio.

Problema del Jueves 8

Demuestra que si un cuadrilátero cíclico tiene sus diagonales
perpendiculares, entonces la perpendicular trazada hacia un lado desde
el punto de intersección de las diagonales bisecta el lado opuesto.


Y de TAREA para este sabado acuerdense de algun problema de geometria que no les haya salido (o busquen uno de nivel de nacional e intentenlo un rato), y el sabado me lo dicen para que lo resolvamos todos

Error en la desigualdad de Adrian

el error esta cuando restas 1 de 2
porque cuando restas no se conserva la desigualdad

osea a<7 y 2<8 pero 3=5-2>7-8=-1
en tu caso mas especifico dices algo asi como
5>3 y 8>3 entonces 5-8>3-3=0 lo cual
claramente no es cierto

Problema Martes 6

Sea ABC triangulo y el incirculo toca a los lados BC, CA y AB en D,E y F respect.
sean P, Q y R los incentros de los triangulos EAF,FBD y DCE respect.
demuestra que DP,EQ y FR concurren.

Soluciones de Tarea

Para que escriban sus soluciones de la tarea. Intenten no leer las soluciones de los demás hasta ya hayan terminado el problema ustedes mismos.

Entrenamiento mañana

Hola a Todos

Tal vez ya sea muy tarde para que vean esto, pero mañana esperamos que asistan todos al entrenamiento

Solucion problema 2 del ultimo examen

Nadie lo resolvio completamente, el puntaje mas alto fue 3 puntos de Adrian Rivera.
Los demas tienen 1 y 0, con excepcion de Omar que tiene 2 puntos.

Solucion:
Sean a_1, a_2, ..., a_2n los 2n numeros positivos diferentes, menores o iguales que n^2, los cuales podemos ordenar de la siguiente manera
a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_2n

Lo mas natural es buscar las tres diferencias entre numeros consecutivos de la sucesion.
Supongamos que no hay tres diferencias iguales, entonces

A=(a_2 - a_1) + (a_3- a_2) + (a_4 - a_3) + ... + (a_2n - a_{2n-1})

es mayor o igual que

1+1 + 2+2 +3 +3 + ....+ n-1+ n-1 + n = n(n-1) + n = n^2

pero A=a_2n -a_1 que es menor o igual que que n^2-1

de donde n^2-1 es mayor o igual que n^2, lo cual es una contradiccion.




En el problema 1 todos lo tienen bien excepto Eduardo Melendez que tiene 3
y Jose Andres tiene 6.

Falta de calificar el problema de geometria

Ultimo problema de invarianza

El problema se puede reescribir como sigue:

La sexteta $(x_1, x_2, x_3, ... , x_6)$ se transforma en la sexteta
$(x_2, x_3, ...., x_6, x_7)$, donde $x_7$ es el ultimo digito de la suma de
$x_1+ x_2 + --- + x_6$. Determina si es posible obtener 0, 1, 0, 1, 0 ,1 de
1, 0, 1, 0, 1, 0.

Hint: Consideren $s(x_1, x_2, ... , x_6)$ igual al ultimo digito del numero
$2x_1 + 4x_2+ 6x_3+ 8x_4 + 10x_5+ 12x_6$

Problema 4 de numeros unidad

Hagamos la construccion por induccion. Supongamos que hemos construido
$a_1 =1$, $a_2$, ... $a_n$ numeros unidad primos relativos entre ellos.
Por el problema 3 de numeros unidad, existe un numero unidad $m$ el cual es
divisible entre el producto de los $a_i$.
Consideremos entonces el numero $10m+1$, el cual es un numero unidad, y como
$(m,10m+1)=1$, entonces, $(a_i, 10m+1)=1$, por lo que podemos tomar
$a_{n+1} = 10m+1$.

Problema 3 de numeros unidad

Sea $n$ que termina en 1, 3, 7 o 9. Note que entonces, n es primo relativo con 10 y de hecho con cualquier potencia de 10.

Considere las sucesion de n+1 numeros unidad:

1, 11, 111, 1111, .... , 11111...11

donde el ultimo numero unidad tiene n+1 digitos.

Como son n+1 numeros, por el principio de las casillas, hay dos cuya diferencia es divisible entre n. Pero la diferencia de dos numeros unidad es el producto de un numero unidad por una potencia de 10. Pero como n no divide a ninguna potencia de 10, debe dividir al numero unidad.

Problema 4 de ordenar

Supongamos que el problema no es cierto.

Sea $A=\{ x_1, x_2, ..., x_{25} \}$ la coleccion de 25 numeros. Ordenemolos de menor a mayor

$0< x_1 < x_2 < ... < x_{25} $.

Es claro que $x_{25} + x_k > x_{25}$ por lo cual no puede estar en el conjunto A para ninguna k, entonces debemos tener que la diferencia $x_{25} - x_k$ debe estar en A. Luego

$x_{25} - x_1 = x_{24}$
$x_{25} - x_2= x_{23}$
.
.
.
$x_{25} - x_{12} = x_{13}$


Ahora para $k > 1$, tenemos que $x_{24} + x_k> x_25$, luego
la diferencia $x_{24} - x_k$ debe estar en A.

Ademas, $x_{24} - x_2 < x_{23}$ ya que $x_2+x_{23}=x_{25} > x_{24}$

Por lo tanto

$x_{24} - x_2 \leq x_{22}$
$x_{24} - x_3 \leq x_{21}$
.
.
.
$x_{24} - x_{12} \leq x_{11}$ \leq significa menor o igual que
.
.
.
$x_{24} - x_{22} \leq x_1

(Note que en la lista anterior podemos decir que $x_{24} - x_{12}$ es diferente de $x_{12}$ pues de lo contrario la suma y la diferencia de $x_{24}$ y $x_{12}$ no estaria entre los 23 numeros restantes.)

Ahora como $x_{24} + x_{23}$ no esta en A, y por la ultima desigualdad tenemos que
$x_{24} - $x_{23} < x_1$, por lo que tampoco estaria en el conjunto A, lo cual es una contradiccion.

Problema 12 del viernes 19 de agosto

Problema 12

A una fiesta asistieron 10 personas. Se sabe que entre cualesquiera tres de ellas, hay al
menos dos que no se conocen. Muestra que en la fiesta hay un grupo de cuatro personas que no se conocen entre si.

Solucion:

Representemos a cada persona i con un vertice $v_i$ y uniremos dos vertices con aristas
rojas o verdes dependiendo si las dos personas correspondientes se conocen o no. Si $v_1$ tiene
al menos 6 aristas verdes de las 9 aristas que salen de $v_1$, tomamos los vertices que estan unidos a $v_1$ por estas aristas verdes, digamos $v_2$, $v_3$, $\dots$, $v_7$. Ahora si
$v_2$ tiene al menos $3$ aristas verdes de las 5 aristas que lo unen con $v_3$, $\dots$, $v_7$, entonces tomamos esos vertices, digamos $v_3$, $v_4$, $v_5$. Entre estos tres vertices hay al menos dos unidos por una arista verde digamos $v_3$ y $v_4$. Entonces $v_1$, $v_2$, $v_3$,
$v_4$ estan unidos unicamente por aristas verdes y terminamos.

Si $v_2$ no tiene al menos 3 aristas verdes, entonces tiene al menos 3 aristas rojas. Tomamos los 3 vertices de esas aristas rojas, digamos que son $v_3$, $v_4$, $v_5$. Entonces entre estos 3 vertices no hay 2 que esten unidos por una arista roja. Luego, $v_1$, $v_3$, $v_4$, $v_5$ estan unidos unicamente por aristas verdes y terminamos.

Finalmente si $v_1$ no tiene al menos 6 aristas verdes, tiene al menos 4 aristas rojas y tomando los vertices de esas aristas rojas, digamos, $v_2$, $v_3$, $v_4$, $v_5$, entonces entre estos vertices no hay 2 que este unidos por una arista roja y por lo tanto, estan unidos unicamente por aristas verdes y nuevamente terminamos.

Problema 11 del viernes

Demostrar que hay tres pelotas de tres colores distintos en dos cajas distintas.

Problema 10 del viernes

Por las hipotesis del problema podemos considerar los lados del poligono sobre las lineas de una
cuadricula infinita. Ahora pinten las cuadricula como tablero de ajedrez con casillas de lado 1. Demuestren que si un poligono ortogonal de n lados tiene todos sus lados de longitud impar, entonces no es posible que tenga el mismo numero de casillas blancas y de casillas negras.

Hints para los problemas pendientes del viernes

Cada dia les voy a dar un hint de los problemas del viernes, esperando que escriban en el blog su solucion.

Problema 7. Por casillas se puede ver que hay 13 puntos del mismo color. Ahora cuenten el numero de triangulos que se pueden formar con 13 puntos, el numero de segmento posibles que se pueden trazar con 13 puntos y el numero de triangulos isosceles que pueden formar dejando fijo un segmento de los anteriores y con el otro vertice dentro de los 13 puntos.

Problemas de inicio entrenamiento sábado

1.- Sean x,y,z naturales con x menor a y menor a z menor a p, donde p es un primo. Demuestra que si x^3 , y^3 , z^3 dejan el mismo residuo al dividirse entre p, entonces x+y+z divide a x^2+y^2+z^2.

2.-Encuentra todas las parejas de naturales (a,b) tales que 2a-1 y2b+1 sean coprimos y a+b divide a 4ab+1.

3.-Encuentra todas las parejas de enteros (x,y) tales que
1+2^x+2^(2x+1)=y^2

Estos van a ser los primeros problemas para el entrenamiento de mañana ponganse a intentarlos al llegar, aunque yo no haya llegado!

Resultados de examen

Con respecto al examen del sabado, Larissa revisara los dos problemas de geometria y yo los otros dos. Estoy un poco sorprendido con los resultados, pues creo que nadie tiene completo el 2
y creo que Anthony es el unico que tiene completo el 3.

Entrenamientos

Hola Georges y Daniel

Van a poder seguir entrenando? yo entrenare todos los viernes hasta el nacional, pero ustedes me pueden ayudar algunos sabados, por ejemplo este que viene, quien puede?

Problema del día 16 de agosto

Sea ABC un triángulo escaleno, D en el lado AC de tal forma que BD sea la bisectriz del angulo ABC. Sean E y F, respectivamente, los pies de las perpendiculares desde A y C a la línea BD y sea M el punto en BC tal que DM sea perpendicular a BC. Demuestra que angEMD=angDMF

Problema del día 15 de agosto

Sean a y b dos enteros positivos con a>b. Sabemos que mcd(a-b,ab+1)=1 y mcd(a+b,ab-1)=1.
Demuestra que (a-b)^2+(ab+1)^2 no es un cuadrado perfecto.

mcd(x,y) es el maximo comun divisor de x y y.
x^2 es equis al cuadrado

Problema del día 11 de agosto

En encuentra el menor natural n tal que lo siguiente se cumple.

No importa como colorees de rojo y azul los elementos del conjunto (1,2,...,n) siempre existen enteros x,y,z,w en el conjunto (no necesariamente distintos) del mismo color tales que x+y+z=w

Problema del día 10 de agosto

Encuentra todos los enteros x,y,z tales que
x^2 + y^2 + z^2=2(yz+1) y también. x+y+z=4018.

Regreso de problemas

Ya regrese de la imo, entonces voy a empezar a poner problemas de nuevo.

1.-Se tiene un tablero de 2xn. De cuantas formas se pueden escribir los números del 1-2n en las casillas del tablero (cada numero exactamente una vez, y en cada casilla un numero) de tal forma que si dos números son consecutivos entonces se encuentran en casillas que comparten un lado.

Los correos para Rogelio.

Aquí pongan sus mails. Yo pondre el mio y el de Anthony, ya que el no puede comentar en el blog.

Diego Terán Ríos - diego_teran_rios@hotmail.com

Anthony Ortiz - tony_fol@hotmail.com

Examen del sabado 30 de octubre

Hola a Todos

Me comento Diego que habia un error tipografico en el problema de Geometria, quienes de ustedes lo intentaron hacer con la correccion, si es que se dieron cuenta, pues parece que Diego
si entendio donde estaba el error.

Saludos

Rogelio

Problema

sea el producto de todos los digitos, distintos de cero, de un entero . Por ejemplo, , , , .
encuentra el valor de la suma: P(1) + P(2) + ... + P(2010) + P(2011).

Resultados primer examen

Anthony 7 7 7 21
Diego 5 7 7 19
Nidia 5 7 7 19
Victor 5 7 7 19
Paulina 7 0 7 14
Orlando 6 0 7 13
Ricardo 5 0 7 12
Jesus 7 1 2 10
Omar 2 0 7 9
Adrian 2 0 4 6
Eduardo 3 1 1 5

Desigualdades

Les dejo unas desigualdades para que practiquen. Todas salen con Media geometrica media aritmetica.

1.-Sean a,b,c reales positivos, entonces
[(a^2)(b)+(b^2)(c)+(c^2)(a)][(b^2)(a)+(c^2)(b)+(a^2)(c)]>=9(a^2)(b^2)(c^2)


2.-Sean a,b,c reales positivos tales que abc=1. Muestra que
(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c)>=3

3.-Sean a,b,c reales positivos con a+b+c=1, muestra que
[(a+1)/a][(b+1)/b][(c+1)/c]>=64

4.-Sean x,y,z reales positivos. Muestra que
[(x+y+z)^2]/3>=(x)(raiz yz)+(y)(raiz zx)+(z)(raiz xy)

(raiz ab) es la raiz cuadrada de la multiplicacion de a y b.

5.-Para reales positivos x,y,z muestra que x^4 + y^4 + z^2 >=xyz(raiz 8)

Problema del día

1.- Demuestra que 2009!-1 no es primo.

2.-Si a,b,c son reales positivos, entonces a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)

3.-El plano es dividido en regiones por lineas rectas. Muestra que siempre es posible colorear las regiones con dos colores de tal forma que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color(como tablero de ajedrez)

Problemas de entrenamiento viernes 08 de julio

1.-En un triangulo ABC se E el punto medio de AC y sea F el punto medio de BC. Sea G el pie de la altura desde C sobre AB. Muestre que EFG es isosceles si y solo si ABC es isosceles.

2.-Considera tres círculos c1,c2 y c3 tales que c1 y c2 son tangentes externamente en el punto A, c2 y c3 tangetes externamente en B y c3 y c1 son tangentes externamente en el punto C. Si el triangulo ABC es equilatero muestra que los radios de los tres círculos son iguales

3.-Sea D un punto sobre el lado AB de un trianguo acutángulo ABC tal que el triángulo BCD es también acutángulo. Sea H el orotocentro del triángulo BCD. Muestre que si los puntos A,D,H y C estan en un círculo, entonces el triángulo ABC es isoceles.

4.-Sea ABC un triángulo acutángulo. Denote por H a su ortocentro y sean A', B', C' los pies de las alturas desde A,B y C respectivamente. Sean P el punto medio de AH, Q la intersección de B'P y AB, y R la intersección de A'C' y BB'. Muestra que B'QC'R es un cuadrilatero cíclico.

5.- Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C y sea D un punto en el segmento BC. Denota al circuncírculo del triángulo ABD por K. Sea E un punto en K tal que la cuerda DE es perpendicular a AB. Muestra que el triángulo AEB es isosceles(angulo diferente en B) si y solo si CA es tangente a K.

6.-Se ABCDE un pentágono donde K,L,M,N son los puntos medios de AB, BC, CD,DE respectivamente. SEan P,Q,F los puntos medios de KM,LN,AD reespectivamente. Muestra que PQ y AE son paralelos y AE=4PQ.

Problema del día 6 de julio

Sean ABC un triángulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la intersección del lado AC con la intersección de la bisectriz del angulo ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea O el circuncentro del triangulo ABC y sean X,Y,Z los puntos donde se cortan las rectas AD con BE, BE con CF y CF con AD respectivamente. Si XYZ es un triangulo equilatero demuestra que uno de los triángulos OXY, OYZ, OZX es un triángulo equilatero.

Libro

Hola, quien quiera que le mande un libro en pdf de matemáticas, escriba su correo en los comentarios. Saludos

Problema del día 4 de julio

Sea a un entero positivo con a>1. Muestra que para cada entero positivo n, el número:
n(2n+1)(3n+1)...(an+1) es divisible entre todos los números primos menores que a.

Problema del día 3 de Julio

1.-Encuentra todos los enteros positivos m,n con n impar que cumplen 1/m + 4/n=1/12

Problema del día 30 de Junio

Encuentra todos los enteros positivos p,q,r tales que p y q son primos y se cumple que:

1/(p+1) + 1/(q+1) - 1/[(p+1)(q+1)] = 1/r

Problema del día 29 de Junio

Considera un cubo con una mosca parada en cada uno de sus vértices. Cuando sopla un silbato cada mosca se mueve a un vértice que esta en la misma cara donde estaba pero diagonalmente opuesto a su vértice. Despues de que suena el silbato, de cuantas formas pueden las moscas cambiar de posición de tal forma que no haya un vértice con 2 o mas moscas?

Cortes

Hola, alguien me puede decir quien sigue vivo despues del corte??

Problema del día 28 de Junio

Sea M un punto en el segmento AB. Sean AMCD, BEHM cuadrados construidos del mismo lado de AB. Los circuncírculos de estos dos cuadrados se intersectan en M y N. Prueba que B, N, C son colineales y que H es el ortocentro del triángulo ABC.

Problema del día 27 de Junio

Encuentra todos los numeros primos p, q y r con
p < q < r, que cumplan con 25pq + r = 2004 y que pqr + 1 sea un cuadrado
perfecto.

Problema del día

Sea n un entero positivo, demuestra que 1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1) no puede ser un entero.

Problema del día

Encuentra todos los primos p y q, y todos los enteros positivos n que cumplan la ecuación 1/p+1/q+1/pq=1/n

Problemas del día 12 de junio

1.-En una hoja de papel se tienen una cantidad finita de puntos negros y una cantidad finita de puntos blancos con la propiedad de que cada segmento de recta que une dos puntos del mismo color, contiene un punto del otro color.
Demuestra que todos los puntos estan en una linea.

2.-Se tienen varias monedas redondas en una mesa. Todas las monedas tienen distintos tamaños y las monedas no se pueden encimar. Demuestra que hay una moneda que es tangente a a lo mas 5 otras monedas.

Blog funcionando

Hola a todos:

Vamos a empezar a poner problemas en el blog, para que puedan trabajar entre semana y asi, el chiste es que ustedes en los comentarios pongan sus soluciones, dudas, comentarios etc, etc. Tambien si tienen alguna duda pueden escribirla en el blog o escribirme un correo a jorge_belanger@hotmail.com

Problemas 19 de marzo

En un triángulo ABC, la altura CE es extendida hasta G de tal manera que EG = AF, donde AF es la altura trazada hacia BC. Una línea a través de G y paralela a AB intersecta CB en H. Demuestra
que HB = AB.

Demuestra que las rectas que unen los centros de los cuadrados, construidos exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, forman también un cuadrado.

Sea M el punto medio de la base AC de un triángulo isósceles ABC. H es un punto en BC tal que MH es perpendicular a BC. P es el punto medio del segmento MH. Demuestra que AH es perpendicular
a BP.

Problema 2 de Marzo

Sea BD la bisectriz de ángulo B del triángulo ABC.
El circuncírculo del triángulo BDC intersecta AB en E y el circuncírculo
del triángulo ABD intersecta BC en F. Demuestra que AE = CF.

Problema para el 28 de Febrero

X y X1 se llaman un par de puntos isotómicos del segmento MN, si X y X1 son simétricos con respecto al punto medio de MN. (si cumplen que XM=X1N y por lo tanto XN=X1M)

Demuestra que si D y D1, E y E1, F y F1 son puntos isotómicos de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, y si AD, BE, CF son concurrentes, entonces AD1, BE1, CF1 también son concurrentes.

Problemas de 25 de Febrero

1) Sean D, E, F, los puntos de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, tales que D esté en la mitad del perímetro a partir de A (DB+BA=DC+CA), E en la mitad a partir de B, y F en la mitad a partir de C. Demuestra que AD, BE, CF son concurrentes.

2) Sea ABCDEF un hexágono convexo inscrito en un círculo. Demuestra que las diagonales AD, BE y CF son concurrentes si y sólo si (AB/BC) ·(CD/DE) ·(EF/FA)= 1.

Practicar Ceva y Menelao

1) Demuestra que las medianas concurren

2) Demuestra que las bisectrices concurren

3) Sea ABC un triangulo y D, E, F los puntos de tangencia del incirculo de ABC con los lados BC,CA y AB, demuestra que las lineas AD,BE y CF concurren

4)Sea ABC un triangulo y D, E, F puntos en BC,CA y AB respectivamente, tal que AD,BE y CF concurren, demuestra que D es el punto medio de BC si y solo si EF es paralelo a BC.

5) Sea ABC un triangulo, sean E y F puntos en CA y AB respectivamente. Sea P la intersección de BE con CF y sean Q y R las intersecciones respectivas de AP y EF con BC.
Demuesta que RB/BQ=RC/CQ

Teorema de Ceva

Dado un triángulo ABC, sean D,E,F,puntos sobre las líneas BC,CA,AB, respectivamente. Entonces, AD, BE y CF concurren si y sólo si (AF/FB) (BD/DC) (CE/EA) = 1.

Este es muy parecido al Teorema de Menelao, les pondre problemas para que practiquen estos dos teoremas.

Teorema de Menelao

Dado un triángulo ABC, sean D,E,F, puntos sobre las líneas BC,CA,AB, respectivamente. Entonces,
D, E y F son colineales si y sólo si (AF/FB )·(BD/DC) ·(CE/EA)= 1

Implica que si una linea intersecta a los lados BC,CA,AB, en los puntos D,E,F entonces secumple la propocion anterior.

Este teorema lo pueden usar en el primer problema que les puse.

A una circunferencia se le han trazado dos líneas tangentes paralelas las cuales la tocan en los puntos M y N. Se traza una tercer tangente la cual corta a las tangentes anteriores en los puntos K y L. Sea O el centro de la circunferencia. Demuestra que angKOL = 90◦.

Igual y ya vieron este problema, al igual que el anterior, pero igual intentelo.

Otro problema

Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto A. BC es una tangente común externa. Demuestra que angBAC = 90◦

rumbo a la XXV OMM

Es hora de empezar a prepararse para el proximo Nacional, aqui les va un problema de geometria.

En el cuadrilatero convexo ABCD, sean E y F los puntos medios de los lados AD y BC , respectivamente. Los segmentos CE y DF se cortan en O. Demostrar que si las rectas AO y BO dividen al lado CD en tres partes iguales entonces ABCD es un paralelogramo