ise los primeros casos, y llegue a q los denominadores y numeradores siempre son primos relativos, pero en unos si puedes simplificar pero despues de simplificar te quedan igual, que son primos relativos, o algo parecido, si ¿no?
pues yo a lo que llegue es a que (3*5*7...*2n+1) es comun divisor. Por lo tanto la suma total deberia ser (5*7*9...*2n+1)+(3*7*9...*2n+1)+.....(3*5*7...*2n-1)/(3*5*7*9...*2n+1) y pues solo me falta probar que lo de arriba es menor... y se que lo es pero no se probarlo xD
Sea x el minimo comun múltiplo de los números 3,5,7,...,2n+1. Como 1/a=(x/a)/x tenemos que 1/3+1/5+1/7+...+1/2n+1=(x/3)/x +(x/5)/x +...+(x/2n+1)/x=(x/3+x/5+...+x/2n+1)/x.
Supongamos que este número es un entero, entonces significa que x divide a (x/3+x/5+...+x/2n+1) en particular como 3 divide a x entonces 3 divide a (x/3+x/5+...+x/2n+1)
Ahora sea 3^y (tres a la y) la máxima potencia de 3 que aparece en 3,5,7,...,2n+1. Entonces como x es el minimo comun multiplo de esos números entonces 3^y divide a x.
Ahora de entre los numeros x/3,x/5,...,x/2n+1 veamos que si el denominador no es divisible entre 3^y entonces como el numerador "x" si es divisible entre este número, entonces al menos va a "sobrar" un múltiplo de 3, y entonces este numero va a ser multiplo de 3.
Por lo tanto los únicos números de entre x/3,x/5,...,x/2n+1 que no van a ser multiplos de 3 van a ser los que el denominador sea multiplo de 3^y, pero los multiplos de 3^y son 3^y,2x3^y,3x3^y=3^(y+1),4x3^y... pero veamos que apartir de 3x3^y no pueden aparecer por que entonces habria una potencia de 3 más grande, y el 2x3^y no puede aparecer por que todos los números que aparecen son impares.
Por lo tanto el uníco que aparece es el 3^y, y entonces de entre todos los números x/3,x/5,...,x/2n+1 el único que no es divisible entre 3 es x/3^y, por lo tanto la suma x/3+x/5+...+x/2n+1 no es divisible entre 3 lo cual es una contradicción.
Por lo tanto 1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1) no puede ser un entero. FIN
No se si se entendio, cualquier cosa el sabado voy a ir y les explico.
ise los primeros casos, y llegue a q los denominadores y numeradores siempre son primos relativos, pero en unos si puedes simplificar pero despues de simplificar te quedan igual, que son primos relativos, o algo parecido, si ¿no?
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ResponderBorraroye george ya lo he intentado varias veces, no me sale. Ya pon la solucion y pon mas problemas no??
ResponderBorrarpues yo a lo que llegue es a que (3*5*7...*2n+1) es comun divisor. Por lo tanto la suma total deberia ser (5*7*9...*2n+1)+(3*7*9...*2n+1)+.....(3*5*7...*2n-1)/(3*5*7*9...*2n+1) y pues solo me falta probar que lo de arriba es menor... y se que lo es pero no se probarlo xD
ResponderBorrarSí, ahorita pongo la solución y subo mas problemas, es que estaba en Colima en el entrenamiento de la IMO y no había tenido tiempo...
ResponderBorrarSea x el minimo comun múltiplo de los números 3,5,7,...,2n+1. Como 1/a=(x/a)/x tenemos que 1/3+1/5+1/7+...+1/2n+1=(x/3)/x +(x/5)/x +...+(x/2n+1)/x=(x/3+x/5+...+x/2n+1)/x.
ResponderBorrarSupongamos que este número es un entero, entonces significa que x divide a (x/3+x/5+...+x/2n+1) en particular como 3 divide a x entonces 3 divide a (x/3+x/5+...+x/2n+1)
Ahora sea 3^y (tres a la y) la máxima potencia de 3 que aparece en 3,5,7,...,2n+1. Entonces como x es el minimo comun multiplo de esos números entonces 3^y divide a x.
Ahora de entre los numeros x/3,x/5,...,x/2n+1 veamos que si el denominador no es divisible entre 3^y entonces como el numerador "x" si es divisible entre este número, entonces al menos va a "sobrar" un múltiplo de 3, y entonces este numero va a ser multiplo de 3.
Por lo tanto los únicos números de entre x/3,x/5,...,x/2n+1 que no van a ser multiplos de 3 van a ser los que el denominador sea multiplo de 3^y, pero los multiplos de 3^y son 3^y,2x3^y,3x3^y=3^(y+1),4x3^y... pero veamos que apartir de 3x3^y no pueden aparecer por que entonces habria una potencia de 3 más grande, y el 2x3^y no puede aparecer por que todos los números que aparecen son impares.
Por lo tanto el uníco que aparece es el 3^y, y entonces de entre todos los números x/3,x/5,...,x/2n+1 el único que no es divisible entre 3 es x/3^y, por lo tanto la suma x/3+x/5+...+x/2n+1 no es divisible entre 3 lo cual es una contradicción.
Por lo tanto 1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1) no puede ser un entero. FIN
No se si se entendio, cualquier cosa el sabado voy a ir y les explico.