1.-En una hoja de papel se tienen una cantidad finita de puntos negros y una cantidad finita de puntos blancos con la propiedad de que cada segmento de recta que une dos puntos del mismo color, contiene un punto del otro color.
Demuestra que todos los puntos estan en una linea.
2.-Se tienen varias monedas redondas en una mesa. Todas las monedas tienen distintos tamaños y las monedas no se pueden encimar. Demuestra que hay una moneda que es tangente a a lo mas 5 otras monedas.
en el primero pues suponemos que se forma un triangulo, este triangulos puede ser monocromatico o tener dos de un color y punto de color diferente. Cuando es este ultimo caso, entre los dos del mismo color hay un punto del color de nuestro tercer punto de nuestro triangulo original. Y entre estos dos puntos hay un punto que completa junto con los 2 primeros puntos, un triangulo monocromatico. Ahora bien, cuando ya tenemos nuetro triangulo monocromatico, entre cada 2 vertices hay un punto de color diferente, entonces podemos formar yn triangulo monocromatico de diferente color al primero, dentro de el. Es facil ver que esto lo podemos hacer infinitamente !!! contradiccion, ya que tenemos puntos finitos. Entoncesno hay 3 puntos no colineales y todos son colineales
ResponderBorrarBien!! Se puede hacer utilizando el argumento de construir infinitos puntos, otra forma de hacerlo es esta:
ResponderBorrarSuponemos que no estan todos en una linea, entonces se forma al menos un triángulo, ahora consideremos el triangulo de area mas PEQUEÑA.
Este triangulo debe de tener al menos dos puntos del mismo color y por lo tanto debe de haber un 3 punto adentro formando un triángulo mas pequeño. Contradicción!!
Por lo tanto todos estan un una linea. El truco aqui fue usar principio extremo, y tambien ayuda para el de las monedas.
ok bueno, en el de las monedas, tomamos a la moneda mas chica, con centro Om, trataremos de probar que esta moneda no puede tener a 6 otras monedas tangentes a ella misma. Suponemos que si se puede, tomamos los centros de otras dos monedas On y Ol, luego en el triangulo OmOnOl, el lado mas grande es OnOl, eso es facil de probar, ya que el radio mas chico es de la moneda con contro Om. Entonces nuestro angulo mas grande es OnOmOl.
ResponderBorrar2ang OnOmOl>ang OnOmOl+OnOlOm
analogamente hacemos lo mismo con los 6 triangulos que se forman con Om y 2 monedas consecutivas. al final tenemos que 2*360> 720 pero eso es un absurdo. Entonces no es posible tener 6 monedas tangentes a nuestra moneda mas chica