1/p+1/q+1/pq= 1/n (p+q+1)/pq=1/n n(p+q+1)=pq luego entonces n debe ser 1 ó p ó q ó pq, pero vemos que solo se puede si n=1, entonces (p+q+1)=pq y eso es como muy intuitivo que los unicos que cumplen son 2 y 3 no? la verdad no se me ocurrio una manera formal de concluir. y lo estube analizando un rato
Si esta bien pero no esta muy formal. Va mi solución.
Multiplicando la original por pq de ambos lados nos queda que p+q+1=pq/n como el lado izquiero es entero, entonces tambien el lado derecho es decir n divide a pq, esto solo es posible si n=1,p,q,pq
Si n=pq nos queda que p+q+1=1 lo cual no se puede por que p,q>0.
Si n=p nos queda que p+q+1=q que no se puede porque p>0, lo mismo sucede si n=q
Si n=1 nos queda que pq=p+q+1 esto se puede resolver de varias formas, les escribo 2:
a)Como pq=p+q+1 entonces pq-p-q+1=2 factorizando el lado izquierdo nos queda que (p-1)(q-1)=2 como son dos enteros positivos que multiplicados dan 2 forzosamente son 2 y 1, osea p-1=2 y q-1=1 o viceversa, lo que dan las soluciones p=2,q=3,n=1 y p=3,q=2,n=1.
b)La otra idea es acotar, usar desigualdades(asi salian dos problemas de este ultimo nacional), se puede hacer de varias formas, va una de ellas. Supongamos sin perdida de generalidad que p es mayor a igual a q. Si q es mayor o igual a 3 entonces p+q+1=pq>=3p>p+q+1 debido a que p>=2 por ser primo. Lo cual es una contradiccion. Por lo tanto q es menor que 3 pero como es primo la unica posibilidad que queda es que q=2. Despejando p nos queda que p=3. Si pasa que p menor que q nos da la solucion volteada.
1/p+1/q+1/pq= 1/n
ResponderBorrar(p+q+1)/pq=1/n
n(p+q+1)=pq
luego entonces n debe ser 1 ó p ó q ó pq, pero vemos que solo se puede si n=1, entonces (p+q+1)=pq y eso es como muy intuitivo que los unicos que cumplen son 2 y 3 no?
la verdad no se me ocurrio una manera formal de concluir. y lo estube analizando un rato
Si esta bien pero no esta muy formal. Va mi solución.
ResponderBorrarMultiplicando la original por pq de ambos lados nos queda que p+q+1=pq/n como el lado izquiero es entero, entonces tambien el lado derecho es decir n divide a pq, esto solo es posible si n=1,p,q,pq
Si n=pq nos queda que p+q+1=1 lo cual no se puede por que p,q>0.
Si n=p nos queda que p+q+1=q que no se puede porque p>0, lo mismo sucede si n=q
Si n=1 nos queda que pq=p+q+1 esto se puede resolver de varias formas, les escribo 2:
a)Como pq=p+q+1 entonces pq-p-q+1=2 factorizando el lado izquierdo nos queda que (p-1)(q-1)=2 como son dos enteros positivos que multiplicados dan 2 forzosamente son 2 y 1, osea p-1=2 y q-1=1 o viceversa, lo que dan las soluciones p=2,q=3,n=1 y p=3,q=2,n=1.
b)La otra idea es acotar, usar desigualdades(asi salian dos problemas de este ultimo nacional), se puede hacer de varias formas, va una de ellas. Supongamos sin perdida de generalidad que p es mayor a igual a q. Si q es mayor o igual a 3 entonces p+q+1=pq>=3p>p+q+1 debido a que p>=2 por ser primo. Lo cual es una contradiccion. Por lo tanto q es menor que 3 pero como es primo la unica posibilidad que queda es que q=2. Despejando p nos queda que p=3. Si pasa que p menor que q nos da la solucion volteada.
Se entendio??