Sea M un punto en el segmento AB. Sean AMCD, BEHM cuadrados construidos del mismo lado de AB. Los circuncírculos de estos dos cuadrados se intersectan en M y N. Prueba que B, N, C son colineales y que H es el ortocentro del triángulo ABC.
Segun yo no se podria que m, n y c sean colineales porque entonces el circuncirculo de AMCD intersectaria al lado MC en n y pues que yo sepa eso no se puede...
ok, entonces si lo tenia bien, bueno aqui les va la solucion. Primero nos fijamos en el triangulo HMB, es facil evr que es un isoseles y como <HMB= 90°, entonces <MHB=<MBH= 45. Ahora por inscrito podemos ver que <MHB=<MNB=45°. Ahora en el cuadrado ADCM, es facil ver que DM es diametro de el circulo que toca sus cuatro puntos, ya que <DCM=90° y por inscrito, podemos ver que <DNM=90° tambien. Ahora por el isoseles DCM, se puede evr que <DMC= 45° y por inscritos es facil ver que <DNC= 45°. Ahora tenemos que <CNB= <MNB + <MND + <DNC = 45+90+45= 180°, por lo tanto, C,N y B son colineales. Podemos ver que en el triangulo ABC, el punto H ya se encuentra sobre la altura CM, porque comparten ese chachito de lado los cuadrados(MH)y si pruebo que una altura más pasa por ahi ya acabo, entonces podemos extender la diagonal BH hasta que corte a AC en P. Ahora como AMC es isoseles es facil ver que <CAM= 45° y en el triangulo HMB tambien es isoseles y por lo tanto <MBH= 45°, ahora si vemos el triangulo ABP, es facil ver que <CAM + <MBH + <APB= 180°, pero ya tenemos que <CAM +<MBH = 90°, por lo tanto <APB= 90° y sabe,ps que H esta dentro de BP, y por ende, H es el orteocentro de ABC.
bueno, ya lo termine, pero me da un poco de flojera. Solo tienes que checar que acnm es ciclico y por eso <cna=90 y nhmb tambien es ciclico y por eso <anb=90 y estonces es colineal cnb. y para ver que es ortocentro, pues cm es altura, y an tambien por lo mismo que <cna=90. no es tan claro como eso, pero al final si es facil de ver todo
Del mismo lado de AB se refiere a que sus lados miden lo mismo, o a que estan construidos en el mismo lado del segmento(arriba o abajo)
ResponderBorrarEstan construidos en el mismo lado del segmento(arriba o abajo)
ResponderBorrarseguro que son m,n y c los puntos que debemos probar que son colineales, esque no me sale eso, ya probe que h es el ortocentro.
ResponderBorrarno seria b, n y c?
ResponderBorrarSegun yo no se podria que m, n y c sean colineales porque entonces el circuncirculo de AMCD intersectaria al lado MC en n y pues que yo sepa eso no se puede...
ResponderBorrarSí!! perdon es B,N,C colineales, ya lo corregí!
ResponderBorrarok, entonces si lo tenia bien, bueno aqui les va la solucion. Primero nos fijamos en el triangulo HMB, es facil evr que es un isoseles y como <HMB= 90°, entonces <MHB=<MBH= 45. Ahora por inscrito podemos ver que <MHB=<MNB=45°. Ahora en el cuadrado ADCM, es facil ver que DM es diametro de el circulo que toca sus cuatro puntos, ya que <DCM=90° y por inscrito, podemos ver que <DNM=90° tambien. Ahora por el isoseles DCM, se puede evr que <DMC= 45° y por inscritos es facil ver que <DNC= 45°. Ahora tenemos que <CNB= <MNB + <MND + <DNC = 45+90+45= 180°, por lo tanto, C,N y B son colineales.
ResponderBorrarPodemos ver que en el triangulo ABC, el punto H ya se encuentra sobre la altura CM, porque comparten ese chachito de lado los cuadrados(MH)y si pruebo que una altura más pasa por ahi ya acabo, entonces podemos extender la diagonal BH hasta que corte a AC en P. Ahora como AMC es isoseles es facil ver que <CAM= 45° y en el triangulo HMB tambien es isoseles y por lo tanto <MBH= 45°, ahora si vemos el triangulo ABP, es facil ver que <CAM + <MBH + <APB= 180°, pero ya tenemos que <CAM +<MBH = 90°, por lo tanto <APB= 90° y sabe,ps que H esta dentro de BP, y por ende, H es el orteocentro de ABC.
Bien!!
ResponderBorrarbueno, ya lo termine, pero me da un poco de flojera. Solo tienes que checar que acnm es ciclico y por eso <cna=90 y nhmb tambien es ciclico y por eso <anb=90 y estonces es colineal cnb. y para ver que es ortocentro, pues cm es altura, y an tambien por lo mismo que <cna=90. no es tan claro como eso, pero al final si es facil de ver todo
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