Al fin me salió un problema!(creo): Bueno pues tienes que (p+1)(q+1) es común múltiplo de p+1 y q+1. Por lo tanto, el resultado de la primera suma va a ser, si usamos ese común denominador: q+1+p+1-1/(p+1)(q+1)= q+p+1/(p+1)(q+1)=1/r Para que q+p+1/(p+1)(q+1) se pueda simplificar y que quede de la forma 1/r, q+p+1 debe dividir a (p+1)(q+1). Ahora, tenemos tres opciones: q=2, p=impar (es el mismo casi que p=2 q= impar...) q=2, p=2 q=impar, p=impar Si q=2, p=impar, entonces q+p+1=par y (p+1)(q+1)=par. Si q=2, p=2, entonces q+p+1= impar y (p+1) (q+1) =impar. Si ambos son impares, entonces q+p+1= impar y (p+1)(q+1)= par, por lo que no se puede que ambos sean impares, ya que q+p+1 no dividiría a (q+1)(p+1). En el caso de que ambos sean dos, si sustituimos, nos da lo siguiente: 1/2 + 1/2 - 1/4= 3/4, lo cual claramente no cumple. Entonces, sabemos que solo uno de ellos es 2. Ahora, si checamos las congruencias en mod 6, sabremos que 2 es congruente con 2 (mod 6). El otro primo que tenemos puede ser 3 o =/= 3. Si es 3, entonces es congruente con 3 (mod6), y si no, sera congruente con 5 o 1 (mod6), ya que todos los primos>3 son de forma 6k+-1. Ahora, sabemos que (q+1)(p+1)= p+q+1+pq. Como sabemos que q+p+1/q+p+1, entonces para que q+p+1 divida a (q+1)(p+1), q+p+1 debe dividir a pq. Ahora, si p=2 y q es congruente con 5 (mod6), qp es congruente con 4(mod6) y p+q+1 = 2(mod6), por lo que q+p+1 no divide a pq. Si q= 1 (mod6), entonces pq= 2(mod6) y q+p+1= 4(mod6), por lo que no cumple. Solo falta probar el caso de que q=3. si q=3, entonces q=3(mod6) y pq= 0(mod6); además, p+q+1=0(mod6). Por lo tanto el 2 y 3 si cumplen, y son los unicos numeros primos que cumplen. Si sustituimos: 1/3 + 1/4 - 1/12= 1/2.
Por ejemplo dices:"Si ambos son impares, entonces q+p+1= impar y (p+1)(q+1)= par, por lo que no se puede que ambos sean impares, ya que q+p+1 no dividiría a (q+1)(p+1)"
Pero si es posible que un impar divida a un par por ejemplo 3 divide a 6.
Tambien dices que para que un número divida a otro tienen que ser congruentes
"Ahora, si p=2 y q es congruente con 5 (mod6), qp es congruente con 4(mod6) y p+q+1 = 2(mod6), por lo que q+p+1 no divide a pq."
Lo cual no es cierto por ejemplo 10 divide a 20 y mod 6 son 4 y 2 respectivamente.
Checa eso para que entiendas por que esta mal, si tienes el libro de teoria de números, lee la parte de divisibilidad y congruencias para entender mejor.
Sin embargo, en tu solución pruebas correctamente que para que la ecuación se de tiene que pasar que p+q+1 divide a (p+1)(q+1) y tambien dices que p+q+1 entonces divide a pq. Pero ya con eso estas cerca de acabar!!! Por que como p y q son primos, entonces pq tiene pocos divisores (de hecho son 4) y pues ya sabes cuales son y entonces p+q+1 tiene que ser igual a uno de esos. Intentalo!
Bueno pues con lo que puso Georges ya esta probado el probelam porque es obvio que p+q+1 debe ser igual a uno de los 4 divisores, que son p, q, pq, y 1. P+q+1> p, q y 1 asi que obviamente no es igual a ellos (debido a que es esos numeros mas algo). y pues solo falta probar en que casos pq=p+q+1 y para que sean iguales ambos deben ser congruentes a lo mismo(mod6) y ya probe que eso solo pasa cuando uno es 2 y el otro es 3, y con eso r=2. Gracias Georges :D No tengo el libro de teoría de números... pero sí entendí lo que pusiste de porque estaba mal jaja no lo pensé.
o.o buen punto x.x me olvide de eso bueno... Pues si ambos son congruentes con 5 (mod6), entonces pq=1(mod6) y p+q+1=5(mod6): no cumple. Si ambos son congruentes con 1(mod6) entonces pq=1(mod6) y p+q+1=3(mod6): no cumple. Si uno es congruente con 5 y el otro con 1 (mod6), entonces pq=5(mod6) y p+q+1=1(mod6): no cumple.
No... creo que me falto probar cuando 1 es 3 no? bueno si 1 es 3 el otro es 5, 1 o 3. si p=3 y q=3, entonces pq=3(mod6) y p+q+1=1(mod6). Si p=3 y q=1(mod6), entonces pq=3(mod6) y p+q+1= 5(mod6) Si p=3 y q=5(mod6), entonces pq=3(mod6) y p+q+1= 3(mod6) y... pues ya no se como probar que eso no cumple xD
1/(p+1) + 1/(q+1) - 1/[(p+1)(q+1)] = 1/r (q+p+1)/[(q+1)(p+1)] = 1/r estonos dice que q+p+1/(q+1)(p+1) q+p+1/qp+(p+q+1), pero como q+p+1 divide a q+p+1, entonces q+p+1/pq. Esto nos da cuatro casos porque pq son primos. q+p+1=1 (lo cual no es cierto por que esto nos diria que p+q=0 y esto es una contradiccion) q+p+1=p (lo cual no es cierto por que esto nos diria que q+1=0 y esto es una contradiccion) q+p+1=q (lo cual no es cierto por que esto nos diria que p+1=0 y esto es una contradiccion) q+p+1=pq (Esta es la unica que funciona) ahora si vemos que p,q >- 3 (mayor o iguales a 3) como minimo nos daria que (p+q+1=pq)-------> 3+3+1=9, y pues mientras mas va aumentando, mas grande es el numero pq que la suma p+q+1. Entonces sabemos que almenos un primo es 2, porque es el unico primo menor a 3, entonces sin perdida de generalidad digamos que es q, ahora tenemos que p+3=2p ---> p=3 y ahora solo sustituimos (q+p+1)/[(q+1)(p+1)] = 1/r 6/12=1/2=1/r , por lo tanto 2=r. Y ya con esto tenemos las soluciones. p=2, q=3, r=2 p=3, q=2, r=2
Bien!... aunque la parte del caso p+q+1=pq para ser mas formales es mejor decirlo asi.
Sin perdida de generalidad p>=q, ahora si q>=3 entonces pq>=3p=p+p+p>p+q+1=pq contradicción! Por lo tanto q=2.
Otra forma de hacer esta parte es ver que si p+q+1=pq entonces pq-p-q+1=2 pero el lado izquierdo se puede factorizar como (p-1)(q-1)=2 y los por lo tanto p-1=2 y q-1=1 o viceversa, lo que da las soluciones.
Una ventaja de hacerlo de estas últimas dos formas, en vez de hacerlo mod 3(o mod 6) es que lo probamos para cualesquiera enteros positivos no solo primos.
Al fin me salió un problema!(creo):
ResponderBorrarBueno pues tienes que (p+1)(q+1) es común múltiplo de p+1 y q+1. Por lo tanto, el resultado de la primera suma va a ser, si usamos ese común denominador:
q+1+p+1-1/(p+1)(q+1)= q+p+1/(p+1)(q+1)=1/r
Para que q+p+1/(p+1)(q+1) se pueda simplificar y que quede de la forma 1/r, q+p+1 debe dividir a (p+1)(q+1). Ahora, tenemos tres opciones:
q=2, p=impar (es el mismo casi que p=2 q= impar...)
q=2, p=2
q=impar, p=impar
Si q=2, p=impar, entonces q+p+1=par y (p+1)(q+1)=par.
Si q=2, p=2, entonces q+p+1= impar y (p+1) (q+1) =impar.
Si ambos son impares, entonces q+p+1= impar y (p+1)(q+1)= par, por lo que no se puede que ambos sean impares, ya que q+p+1 no dividiría a (q+1)(p+1).
En el caso de que ambos sean dos, si sustituimos, nos da lo siguiente:
1/2 + 1/2 - 1/4= 3/4, lo cual claramente no cumple.
Entonces, sabemos que solo uno de ellos es 2.
Ahora, si checamos las congruencias en mod 6, sabremos que 2 es congruente con 2 (mod 6).
El otro primo que tenemos puede ser 3 o =/= 3. Si es 3, entonces es congruente con 3 (mod6), y si no, sera congruente con 5 o 1 (mod6), ya que todos los primos>3 son de forma 6k+-1.
Ahora, sabemos que (q+1)(p+1)= p+q+1+pq. Como sabemos que q+p+1/q+p+1, entonces para que q+p+1 divida a (q+1)(p+1), q+p+1 debe dividir a pq.
Ahora, si p=2 y q es congruente con 5 (mod6), qp es congruente con 4(mod6) y p+q+1 = 2(mod6), por lo que q+p+1 no divide a pq.
Si q= 1 (mod6), entonces pq= 2(mod6) y q+p+1= 4(mod6), por lo que no cumple.
Solo falta probar el caso de que q=3. si q=3, entonces q=3(mod6) y pq= 0(mod6); además, p+q+1=0(mod6).
Por lo tanto el 2 y 3 si cumplen, y son los unicos numeros primos que cumplen.
Si sustituimos:
1/3 + 1/4 - 1/12= 1/2.
a como no hay simbolo de congruente... use x=y(modn) eso significa congruente xD
ResponderBorrarHola Victor:
ResponderBorrarTu solucion tiene unos errores.
Por ejemplo dices:"Si ambos son impares, entonces q+p+1= impar y (p+1)(q+1)= par, por lo que no se puede que ambos sean impares, ya que q+p+1 no dividiría a (q+1)(p+1)"
Pero si es posible que un impar divida a un par por ejemplo 3 divide a 6.
Tambien dices que para que un número divida a otro tienen que ser congruentes
"Ahora, si p=2 y q es congruente con 5 (mod6), qp es congruente con 4(mod6) y p+q+1 = 2(mod6), por lo que q+p+1 no divide a pq."
Lo cual no es cierto por ejemplo 10 divide a 20 y mod 6 son 4 y 2 respectivamente.
Checa eso para que entiendas por que esta mal, si tienes el libro de teoria de números, lee la parte de divisibilidad y congruencias para entender mejor.
Sin embargo, en tu solución pruebas correctamente que para que la ecuación se de tiene que pasar que p+q+1 divide a (p+1)(q+1) y tambien dices que p+q+1 entonces divide a pq. Pero ya con eso estas cerca de acabar!!! Por que como p y q son primos, entonces pq tiene pocos divisores (de hecho son 4) y pues ya sabes cuales son y entonces p+q+1 tiene que ser igual a uno de esos. Intentalo!
ok Gracias!
ResponderBorrarBueno pues con lo que puso Georges ya esta probado el probelam porque es obvio que p+q+1 debe ser igual a uno de los 4 divisores, que son p, q, pq, y 1. P+q+1> p, q y 1 asi que obviamente no es igual a ellos (debido a que es esos numeros mas algo). y pues solo falta probar en que casos pq=p+q+1 y para que sean iguales ambos deben ser congruentes a lo mismo(mod6) y ya probe que eso solo pasa cuando uno es 2 y el otro es 3, y con eso r=2.
ResponderBorrarGracias Georges :D No tengo el libro de teoría de números... pero sí entendí lo que pusiste de porque estaba mal jaja no lo pensé.
Pero no probaste cuando ambos son impares o si??
ResponderBorraro.o buen punto x.x me olvide de eso bueno...
ResponderBorrarPues si ambos son congruentes con 5 (mod6), entonces pq=1(mod6) y p+q+1=5(mod6): no cumple.
Si ambos son congruentes con 1(mod6) entonces pq=1(mod6) y p+q+1=3(mod6): no cumple.
Si uno es congruente con 5 y el otro con 1 (mod6), entonces pq=5(mod6) y p+q+1=1(mod6): no cumple.
Debo poner mas atención xD Gracias
Bien!!
ResponderBorrarNo... creo que me falto probar cuando 1 es 3 no? bueno si 1 es 3 el otro es 5, 1 o 3.
ResponderBorrarsi p=3 y q=3, entonces pq=3(mod6) y p+q+1=1(mod6). Si p=3 y q=1(mod6), entonces pq=3(mod6) y p+q+1= 5(mod6)
Si p=3 y q=5(mod6), entonces pq=3(mod6) y p+q+1= 3(mod6) y... pues ya no se como probar que eso no cumple xD
Si uno es 3 digamos p entonces como pq=p+q+1 entonces 3q=3+q+1 es decir 2q=q q=2 y ya! simplemente despejas!!
ResponderBorrarQuise decir 2q=4
ResponderBorrara ok gracias
ResponderBorrar1/(p+1) + 1/(q+1) - 1/[(p+1)(q+1)] = 1/r
ResponderBorrar(q+p+1)/[(q+1)(p+1)] = 1/r
estonos dice que q+p+1/(q+1)(p+1)
q+p+1/qp+(p+q+1), pero como q+p+1 divide a q+p+1, entonces q+p+1/pq.
Esto nos da cuatro casos porque pq son primos.
q+p+1=1 (lo cual no es cierto por que esto nos diria que p+q=0 y esto es una contradiccion)
q+p+1=p (lo cual no es cierto por que esto nos diria que q+1=0 y esto es una contradiccion)
q+p+1=q (lo cual no es cierto por que esto nos diria que p+1=0 y esto es una contradiccion)
q+p+1=pq (Esta es la unica que funciona)
ahora si vemos que p,q >- 3 (mayor o iguales a 3) como minimo nos daria que (p+q+1=pq)-------> 3+3+1=9, y pues mientras mas va aumentando, mas grande es el numero pq que la suma p+q+1. Entonces sabemos que almenos un primo es 2, porque es el unico primo menor a 3, entonces sin perdida de generalidad digamos que es q, ahora tenemos que p+3=2p ---> p=3 y ahora solo sustituimos (q+p+1)/[(q+1)(p+1)] = 1/r
6/12=1/2=1/r , por lo tanto 2=r. Y ya con esto tenemos las soluciones.
p=2, q=3, r=2
p=3, q=2, r=2
Bien!... aunque la parte del caso p+q+1=pq para ser mas formales es mejor decirlo asi.
ResponderBorrarSin perdida de generalidad p>=q, ahora si q>=3 entonces pq>=3p=p+p+p>p+q+1=pq contradicción! Por lo tanto q=2.
Otra forma de hacer esta parte es ver que si p+q+1=pq entonces pq-p-q+1=2 pero el lado izquierdo se puede factorizar como (p-1)(q-1)=2 y los por lo tanto p-1=2 y q-1=1 o viceversa, lo que da las soluciones.
Una ventaja de hacerlo de estas últimas dos formas, en vez de hacerlo mod 3(o mod 6) es que lo probamos para cualesquiera enteros positivos no solo primos.