1.- Sean x,y,z naturales con x menor a y menor a z menor a p, donde p es un primo. Demuestra que si x^3 , y^3 , z^3 dejan el mismo residuo al dividirse entre p, entonces x+y+z divide a x^2+y^2+z^2.
2.-Encuentra todas las parejas de naturales (a,b) tales que 2a-1 y2b+1 sean coprimos y a+b divide a 4ab+1.
3.-Encuentra todas las parejas de enteros (x,y) tales que
1+2^x+2^(2x+1)=y^2
Estos van a ser los primeros problemas para el entrenamiento de mañana ponganse a intentarlos al llegar, aunque yo no haya llegado!
bueno el 1 y 2 ya los hicimos en los entrenamientos, intente el 3 y me salio una tonteria y me trabe, no se si a alguien le sirba lo q escribire
ResponderBorrarbueno tenemos q 1+2^X+2^(2X+1) solo puede ser impar por q 2^algo + 2^algo es par que +1 solo puede ser impar, tambien que 2X+1 solo puede ser impar por q 2*algo es par ý +1 es impar ý tambien que 2^impar su ultimo digito solo puede ser 2 y 8 (no se como comprobarlo solo hice casos asta 2^17 y siempre pasaba asi q si siempre pasa? no lose pero stoy casi seguro que si)
entonces si 1+2^X+2^(2X+1) es impar entonces Y^2 tambien lo es ý por tanto Y es impar, ý los cuadrados de los impares solo pueden terminar en 1, 9 ó 5 (tampoco se como probarlo pero siempre pasa)
pero tambien tenemos q 2^n solo puede terminar en 2, 4, 6 y 8 con n>0, pero bueno regresando a lo de 8 ý 2, si 2^(2X+1) termina en 8 entonces 2^X tiene que terminar en 2 ó 6 para que al sumarle 1 te de un numero igual a 1, 9 ó 5, ý si 2^(2X+1) termina en 2 entonces 2^X tiene que terminar en 6 ó 8 para que al sumarle 1 te de un numero igual a 1, 9 ó 5
entonces tenemos varios casos
(los # son demas numeros)
1+ 2^X+ 2^(2X+1)= Y^2
1+ #6+ #8 = #5 1+#6+#8=#5
1+ #2+ #8 = #1 1+#2+#8=#1
1+ #8+ #2 = #1 1+#8+#2=#1
1+ #6+ #2 = #9 1+#6+#2=#9
pero vemos que si 2^X su ultimo digito es igual a un numero "N" asignado en una tabla de potencias de 2 entonces 2^(2X+1) es el numero correspondiente; ejemplo:
como comprobar el 1 caso es falso
X=4 2^4=16 entonces 2^(2*4+1)=512
entonces este mismo ejemplo nos sirve para comrpobar que el ultimo si es verdad
2^X=#6 entoncs 2^(2X+1)=#2
entonces si 2^X su ultimo digito es 6 entoncs el ultimo digito de 2^(2x+1) tiene que ser 2
ya pobre q uno se podia y q otro no, falta pobrar los otros 2
[caso 2] 2^X=#2 2^(2*X+1)= #8
X=5 2^5=32 entonces 2^(2*5+1)=2048
si se puede
[caso 3] 2^X=#8 2^(2*X+1)= #2
X=3 2^3= 8 entonces 2^(2*3+1)= 128
vemos q no se puede
entonces esto nos deja con 2 casos validos
1+#6+#8=#5
1+#6+#2=#9
y vemos que la unika manera de que 2^X su ultimo digito sea 6 es q X=4K osea que X sea un multiplo de 4 ý como los ultimos digitos de Y^2 deven ser 5 ó 9 osea q los ultimos numeros de Y sean 3, 5 ó 7, pero de aqui ya no se q aplicar, dime georges si esto q ice esta mal, y si esta bien o mal, de todas maneras dame un hint
a se me olvidaba #un numero significa q # son demas numeros y son diferentes por ejemplo:
ResponderBorrar2^X=#2 2^(2*X+1)= #8 ---X=5
2^5=32 entonces 2^(2*5+1)=2048
32 = #2 y 2048 = #8
primero me equivoque con cuales casos eran factibles, aora lo are de nuevo bien:
ResponderBorrar1 + #6 + #8 = #5 [caso 1]
1 + #2 + #8 = #1 [caso 2]
1 + #8 + #2 = #1 [caso 3]
1 + #6 + #2 = #9 [caso 4]
[caso 1] X=4
1 + #6 + #8 = #5
1 + 2^4 + 2^(2*4+1) = 529
1 + 16 + 512 = 529
vemos q el primer caso no sirve
pero vemos q este caso sirve para demostrar que el ultimo caso si sirve,
[caso 4]
1 + #6 + #2 = #9
1 + 2^4 + 2^(2*4+1) = 529
1 + 16 + 512 = 529 = 23^2
que curiosamente cumple, y cumple
1+2^X+2^(2X+1)=Y^2
ahora ya tenemos que el primer caso no sirve pero que el ultimo si
[caso 2] X=5
1 + #2 + #8 = #1
1 + 2^5 + 2^(2*5+1) = 2081
1 + 32 + 2048 = 2081
vemos que si se puede, pero no cumple lo de Y^2
[caso 3] X=3
1 + #8 + #2 = #1
1 + 2^3 + 2^(2*3+1) = 137
1 + 8 + 128 = 137
vemos q este caso no sirve
entonces ya nadamas tenemos 2 casos
[caso 2] 1 + #2 + #8 = #1
[caso 4] 1 + #6 + #2 = #9
y de aqui me trabe pero bueno ya encontre un caso, vi cuando
X=4
1 + 2^4 + 2^(2*4+1) = 529
1 + 16 + 512 = 529 = 23^2
y vi los prosiguientes casos y nunka vi cumpliera, no se como comprobar q es el uniko, un hint geoges
Como que no va por ahi la solucion.
ResponderBorrarHint: Pasa el uno restando y factoriza el lado derecho como una diferencia de cuadrados.
ya lo intente un buen rato, primero factirizo y me queda que (y+1)(y-1)=2^x(2^(x+1)+1)
ResponderBorrarentonces checamos que son y+1 y y-1 son pares consecutivos entonces uno contiene un solo dos en su factorizacion y el otro tiene a los otros x-1 2ses. Primero dije que y+1=2m y que y-1=2^(x-1)(n) con m y n impares y m*n=2^(x+1)+1
despues trate de encontrar m y n asi que iguale las ecuaciones desarrolle y tuve una cuadratica y entonces me da n no entero, pero pues quedamos que n era entero. Hize lo mismo cuando y+1 tiene todos los 2ses menos uno y me da lo mismo, y pues segun yo los unicos resultados posibles son cuando x=0 y y=2. No estoy seguro que este bien, pero ya cheque mis cuantas varias veces.
pero ay un caso mas
ResponderBorrarX=4
1 + 2^(4) + 2^(2*4+1) = Y^2
1 + 16 + 2^(9) = Y^2
1 + 16 + 512 = 529 que es igual a 23^2
ay que intentarlo mañana, ice varias cosas, pero segui sacando tonterias, mejor mañana con calma