oye george, creo que aun no emtiendo como usar que son primos relativos. Primero elabore la multiplicacion y lo iguale a un x^2. Despues me quedaba que (a^2+1)(b^2+1)=x^2 pero de ahí no supe que hacer, asi que me regrese y empeze a hacer diferencias de cuadrados, pero nada me dio algo bonito o algo en lo que pudiera aplicar que son primos relativos. Tambien intente buscar probar que hay un primo elevado a una potencia impar, pero no llegue a nada y despues intente hacer una diferencia de cuadrados desde el principio (a-b)(a-b)=(x+ab+1)(x-ab-1) y entonces a-b debe dividir a uno de los dos pero a-b o divide a ab+1 entonces hay que probar que a-b divide a x y terminariamos no? pero no pude probar eso
ok. Es facil ver que no existen 2 numeros consecutivos que sean cuadrados perfectos. Entonces a^2+1 no es un cuadrado perfecto al igual que b^2+1, y si fueran primos relativos, entonces tenemos que aquellos primos que no esten a una potencia par, seguiran sin estarlo despues de efectuar la multiplicacion por que que no seria un cuadrado perfecto. Supongamos que hay un primo p que divide a ambos miembros, entonces a^2 congruent -1 congruent b^2 mod p a congruent b mod p ab+1 congruent a^2+1 congruent 0 mod p pero a-b congruent 0 mod p entonces si existe un primo que divida a a^2+1 y a b^2+1 entonces a-b y ab+1 no son primos relativos, contradiccion!!
aa ok. pero si implica que a congruent b mod p, ó a congruent -b mop p. cierto? si no, ya no entendi. Entonces si a congruent b mod p ya lo explique y si a congruent -b mod p, a+b congruent 0 mod p, y ab congruent -a^2 congruent 1 mop p, ab-1 congruent 0 mod p, entonces p los divide, contradiccion de suponer que hay un p que divide a a^2+1 y a b^2+1
oye george, creo que aun no emtiendo como usar que son primos relativos. Primero elabore la multiplicacion y lo iguale a un x^2. Despues me quedaba que (a^2+1)(b^2+1)=x^2 pero de ahí no supe que hacer, asi que me regrese y empeze a hacer diferencias de cuadrados, pero nada me dio algo bonito o algo en lo que pudiera aplicar que son primos relativos. Tambien intente buscar probar que hay un primo elevado a una potencia impar, pero no llegue a nada y despues intente hacer una diferencia de cuadrados desde el principio (a-b)(a-b)=(x+ab+1)(x-ab-1) y entonces a-b debe dividir a uno de los dos pero a-b o divide a ab+1 entonces hay que probar que a-b divide a x y terminariamos no? pero no pude probar eso
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ResponderBorrarLo primero va bien, factorizar como (a^2+1)(b^2+1)=z^2
ResponderBorrarHint: que pasaría si (a^2+1) y (b^2+1) fueran primos relativos???
ok. Es facil ver que no existen 2 numeros consecutivos que sean cuadrados perfectos. Entonces a^2+1 no es un cuadrado perfecto al igual que b^2+1, y si fueran primos relativos, entonces tenemos que aquellos primos que no esten a una potencia par, seguiran sin estarlo despues de efectuar la multiplicacion por que que no seria un cuadrado perfecto.
ResponderBorrarSupongamos que hay un primo p que divide a ambos miembros, entonces
a^2 congruent -1 congruent b^2 mod p
a congruent b mod p
ab+1 congruent a^2+1 congruent 0 mod p
pero a-b congruent 0 mod p
entonces si existe un primo que divida a a^2+1 y a b^2+1 entonces a-b y ab+1 no son primos relativos, contradiccion!!
Pero que a^2 sea congruente con b^2 mod p no implica necesariamente que a congruente con b mod p!!
ResponderBorraraa ok. pero si implica que a congruent b mod p, ó a congruent -b mop p. cierto? si no, ya no entendi.
ResponderBorrarEntonces si a congruent b mod p ya lo explique y si a congruent -b mod p, a+b congruent 0 mod p, y ab congruent -a^2 congruent 1 mop p, ab-1 congruent 0 mod p, entonces p los divide, contradiccion de suponer que hay un p que divide a a^2+1 y a b^2+1
Bien!! Si sabes porque a^2=b^2 mod p implica que a=b o a= -b mod p ???
ResponderBorrarPor cierto es un problema del nacional de Iran, que no es fácil!!