Aquí mi solución: Nos fijamos en x. Si x>=2, entonces 4+y^2+z^2>2yz+2, ya que y^2+z^2>2yz y 4>2 Por lo cual x<=1. Si x<-1, sabemos que el cuadrado de un número negativo es igual al de su contraparte positiva, por lo que nos daría de nuevo 4+y^2+z^2>2yz+2, así que x está entre -1 y 1, o sea que x sólo puede ser -1, 0 o 1 Si x=-1, entonces tenemos que 1+y^2+z^2=2yz+2 esto es lo mismo que y^2+z^2=2yz+1 y que y^2+z^2-2yz=1, o sea (y-z)(y-z)=1, o sea que y-z es la raíz de 1, por lo que y-z puede ser 1 o -1, lo que nos dice que son consecutivos. Ahora vemos si x=1, pasa lo mismo. Si x=0, entonces y^2+z^2=2yz+2, o sea que (y-z)(y-z)=2, o sea y-z=raiz de dos, lo cual no es entero y la diferencia entre dos enteros debe ser entero también, por lo que este caso no se puede. Ya sólo hace falta ver que dos consecutivos sumados a 1 o a -1 dan 4018. Si x=1, entonces y=2009 o 2008 y z= 2008 o 2009. Esto lo vi porque 4017 esta compuesto por esos dos consecutivos. El otro caso es si x=-1, entonces y=2009 o 2010 y z=2010 o 2009 y estos son todos los casos.
Hola Georges, felicidades por la medalla :)
ResponderBorrarAquí mi solución:
Nos fijamos en x. Si x>=2, entonces 4+y^2+z^2>2yz+2, ya que y^2+z^2>2yz y 4>2
Por lo cual x<=1.
Si x<-1, sabemos que el cuadrado de un número negativo es igual al de su contraparte positiva, por lo que nos daría de nuevo 4+y^2+z^2>2yz+2, así que x está entre -1 y 1, o sea que x sólo puede ser -1, 0 o 1
Si x=-1, entonces tenemos que 1+y^2+z^2=2yz+2 esto es lo mismo que y^2+z^2=2yz+1 y que y^2+z^2-2yz=1, o sea (y-z)(y-z)=1, o sea que y-z es la raíz de 1, por lo que y-z puede ser 1 o -1, lo que nos dice que son consecutivos.
Ahora vemos si x=1, pasa lo mismo.
Si x=0, entonces y^2+z^2=2yz+2, o sea que (y-z)(y-z)=2, o sea y-z=raiz de dos, lo cual no es entero y la diferencia entre dos enteros debe ser entero también, por lo que este caso no se puede.
Ya sólo hace falta ver que dos consecutivos sumados a 1 o a -1 dan 4018. Si x=1, entonces y=2009 o 2008 y z= 2008 o 2009. Esto lo vi porque 4017 esta compuesto por esos dos consecutivos.
El otro caso es si x=-1, entonces y=2009 o 2010 y z=2010 o 2009 y estos son todos los casos.