Problema 4 de ordenar

Supongamos que el problema no es cierto.

Sea $A=\{ x_1, x_2, ..., x_{25} \}$ la coleccion de 25 numeros. Ordenemolos de menor a mayor

$0< x_1 < x_2 < ... < x_{25} $.

Es claro que $x_{25} + x_k > x_{25}$ por lo cual no puede estar en el conjunto A para ninguna k, entonces debemos tener que la diferencia $x_{25} - x_k$ debe estar en A. Luego

$x_{25} - x_1 = x_{24}$
$x_{25} - x_2= x_{23}$
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$x_{25} - x_{12} = x_{13}$


Ahora para $k > 1$, tenemos que $x_{24} + x_k> x_25$, luego
la diferencia $x_{24} - x_k$ debe estar en A.

Ademas, $x_{24} - x_2 < x_{23}$ ya que $x_2+x_{23}=x_{25} > x_{24}$

Por lo tanto

$x_{24} - x_2 \leq x_{22}$
$x_{24} - x_3 \leq x_{21}$
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$x_{24} - x_{12} \leq x_{11}$ \leq significa menor o igual que
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$x_{24} - x_{22} \leq x_1

(Note que en la lista anterior podemos decir que $x_{24} - x_{12}$ es diferente de $x_{12}$ pues de lo contrario la suma y la diferencia de $x_{24}$ y $x_{12}$ no estaria entre los 23 numeros restantes.)

Ahora como $x_{24} + x_{23}$ no esta en A, y por la ultima desigualdad tenemos que
$x_{24} - $x_{23} < x_1$, por lo que tampoco estaria en el conjunto A, lo cual es una contradiccion.