En el cuadrilatero convexo ABCD, sean E y F los puntos medios de los lados AD y BC , respectivamente. Los segmentos CE y DF se cortan en O. Demostrar que si las rectas AO y BO dividen al lado CD en tres partes iguales entonces ABCD es un paralelogramo
rumbo a la XXV OMM
Es hora de empezar a prepararse para el proximo Nacional, aqui les va un problema de geometria.
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
Sugerencia:
ResponderBorrarUsar Menelao
bueno pues ya usando menelao
ResponderBorrartenemos que la recta AO intersecta a DC en K, BO intersecta en M. Aplicamos menelao en la recta EC. AE/ED*DC/CK*KO/OA=1 pero sabemos que AE/ED es igual a 1 por que miden lo mismo y que DC/CK=3 por lo tanto KO=AK/4. APlicamos menelao de la misma forma a la recta BM y nos da la misma proporcion MO=OB/4. esto nos da 2 triangulos semejantes y por angulos alternos internos tenemos que BA es paralela a DC. Y bueno para probar el otro par de paralelas pensaba usar a DF y a CE pero no se si menelao aplica para cuando los puntos son el mismo vertice.
llamemos a las intersecciones de AO y BO cn BC, A´y B´respectivamente.
ResponderBorrarahora por menelao, tenemos AE/ED*DC/CA'*A'O/OA=1
sabemos que AE/ED= 1 y y DC/CA'= 3 entonces A'O/OA, debe de ser 1/3, por lo tanto AO es 3 veces mas grande que A'O y análogamente podemos probar que BO=3B'O ahora en el triangulo AOB y A'OB' se puede ver que son semejantes en razón 3:1, ya se puede ver que <OAB=<OA'B' por lo tanto AB y DC son paralelas. Ahora como sabiamos que B'A' era un tercio de DC y el triangulo AOB es 3 veces el triangulo A'OB',3A'B'= DC=AB podemos saber que AB y DC son iguales y paralelas, por lo tanto AD y BC deben de ser paralelas e iguales y ya se prueba que es un paralelogramo.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrar