1) Demuestra que las medianas concurren
2) Demuestra que las bisectrices concurren
3) Sea ABC un triangulo y D, E, F los puntos de tangencia del incirculo de ABC con los lados BC,CA y AB, demuestra que las lineas AD,BE y CF concurren
4)Sea ABC un triangulo y D, E, F puntos en BC,CA y AB respectivamente, tal que AD,BE y CF concurren, demuestra que D es el punto medio de BC si y solo si EF es paralelo a BC.
5) Sea ABC un triangulo, sean E y F puntos en CA y AB respectivamente. Sea P la intersección de BE con CF y sean Q y R las intersecciones respectivas de AP y EF con BC.
Demuesta que RB/BQ=RC/CQ
bueno lo de las medianas sale inmediato en la ecuacion ya que son puntos medios.
ResponderBorraren el 3, tambien es inmediato ya que son 3 pares de rectas iguales y en la ecuacion una es numerador y la otra es denominador.
en el 2, nombremos D,E y F a las intersecciones de las bisectrices con los lados opuestos. (D sobre BC, E sobre AC). Luego por el teorema de la bisectriz, tenemos que AB/AC=BD/DC, BC/BA=CE/EA, CA/CB=AF/FB. Entonces probar que AF/FB*BD/DC*CE/EA=1 es lo mismo que probar que AB/AC*BC/BA*CA/CB=1, lo cual es claramente cierto.
en el 4, si D es el punto medio, tenemos que BD/DC=1 por tanto, AF/FB*CE/EA=1 (por Ceva, pasando del otro lado a CE/EA, nos queda la ecuacion: AF/FB=AE/EC y por tales tenemos que ef es paralela. Si EF es paralela a BC, Tenemos que AF/FB=AE/EC => AF/FB*EC/AE=1 y por tanto d debe ser punto medio para cumplir con la ecuacion que nos da ceva.
ResponderBorrarsolo intenté el 1 y el 2 y sale muy rapido, despues intento el 3 4 y 5 y escribo las soluciones, mucha tarea por el momento jaja
ResponderBorrarbueno del 1 al 4 tengo las mismas soluciones que Anthony y en el cinco aplicamos Melenao y nos dice que (AE/EC)*(CR/RB)*(BF/FA)=1 y por ceva tenemos que (AE/EC)*(CQ/QB)*(BF/FA)=1. entonces
ResponderBorrar(AE/EC)*(CR/RB)*(BF/FA)=(AE/EC)*(CQ/QB)*(BF/FA)
"eliminamos" las iguales y nos dice que
CR/RB=CQ/QB
despejamos y nos queda RC/CQ=RB/BQ.