1.- Demuestra que 2009!-1 no es primo.
2.-Si a,b,c son reales positivos, entonces a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)
3.-El plano es dividido en regiones por lineas rectas. Muestra que siempre es posible colorear las regiones con dos colores de tal forma que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color(como tablero de ajedrez)
Hint: Lease al reves (nosliwedameroet)
ResponderBorrarEse era el hint del 1. Ahora
ResponderBorrarHint del 2: (amgmysodropacilpitlum)
Hint del 3: (satcermunerbosnoiccudni)
oye, en el primero, estoy suponiendo que si es primo tratando de encontrar la contradiccion, pero no veo nada. tambien trate de usar como que el 2011, que ese si es primo y usar wilson ahi, pero no llego a nada. lo voy a intentar mas.
ResponderBorrarEn el dos quieres decir que elevamos "a" a la 4b cuadrada?? o que pedo.
Y el tercero si no entendi nada, cual es la condicion? pues simplemente lo coloreamos y ya, no falta algo?
aa y si hize los de goemetria, estan faciles
1.- Si un número menor a el lo divide entonces ya acabaste. Hint: (ecnolimsodnocatnetni)
ResponderBorrar2.- Me referia a
(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)>=abc(a+b+c)
a al cuadrado por b al cuadrado mas, etc...
3.-Simplemente lo coloreas. Osea es medio intuitivo que siempre se puede. Pero como lo pruebas?
bueno el tercero, usamos induccion sobre el numero de divisiones que hay (osea el num de lineas), para uno obvio se puede, suponemos que para n se puede, y bueno, para n+1, solo estamos aumentandp una linea osea que solo nos importa como que los cuadrados o los lugares que atraviesa, los demas si estan bien coloreados. En donde la linea nueva intersecta, como que solo invertimos los colores hacia un lado del plano, y asi en la juntura de los 2 planos si cumple la regla, y hacie el lado que cambiamos tambien cumple por que pues solo invertimos los colores, y si antes cumplia, tambien cumplira despues. y ya no?
ResponderBorrarCuando se puede dividir en las congruencias?
ResponderBorrarse puede dividir de los dos lados entre -1?
ResponderBorrarno se si se pueda pero explicare lo que intento hacer. =. significa es congruente. Bueno por wilson sabemos que 2010! =. -1 (mod 2011) pero tenemos que 2010=.-1 (mod 2011) entonces tenemos que 2009!2010=. 2009!*(-1)=. -1 (mod 2011) y bueno no se si se pueda, pero como 2011 y 2010 o 2011 y -1 son primos relativos se pudiera dividir entre
ResponderBorrar-1 todo eso y asi acabar porque 2009! - 1 =. O (mod 2011), pero si no se puede eso, no se me ocurre como pasar ese paso
o en lugar de dividir, multiplicamos ambos lados por -1 y ya
ResponderBorrarok bien!
ResponderBorrarOk, el 2:
ResponderBorrarTenemos nuestra desigualdad y la multiplicamos por 2:
2(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)>=2abc(a+b+c)
Esto es igual a:
(a^2)(b^2)+(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)+(c^2)(a^2)>= 2(a^2)(bc)+ 2(ac)(b^2)+2(ab)(c^2)
Ahora, recuerdo que una vez Daniel nos dijo que la suma de dos números al cuadrado siempre es mayor a 2 veces su producto(a menos que todos los numeros sean 0).(esto se prueba facilmente, ya que si pasas el producto al otro lado, te da un cuadrado mayor a 0).
Nos fijamos en el cuadrado (ab+bc)^2
El prodcto de esto es= (a^2)(b^2)+ 2(a^2)(bc)+(b^2)(c^2). Entonces sabemos que como 2(a^2)(bc) es producto de (ab+bc), entonces (a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)>= 2(a^2)(bc)
Ahora nos tomamos el cuadrado (ac+bc)^2 y nos da que:
(c^2)(a^2)+(b^2)(c^2)>=2(ab)(c^2)
Por ultimo, tomamos el cuadrado (ab+ac)^2 y nos queda que:
(c^2)(a^2)+(a^2)(b^2)>=2(a^2)(bc)
Con esto, ya probamos que:
(a^2)(b^2)+(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)+(c^2)(a^2)>= 2(a^2)(bc)+ 2(ac)(b^2)+2(ab)(c^2)
Lo cual es lo mismo que probar lo que pedia el problema.
Ok me equivoque donde dice 2(a^2)(bc) es producto de (ab+bc), quize decir que es producto de (ab)(bc)
ResponderBorrarBien victor!
ResponderBorrarpues en la desigualdad me dio practicamente lo mismo que a victor, solo que al multiplicar todo por 2, agarraba parejas diferentes. y por media geometrica media aritmetica salia. ejemplo.
ResponderBorrar(a^2b^2 + a^2c^2)/2 >= (raiz de)(a^4)(b^2)(c^2) = (a^2)bc y asi vas haciendo todas las pareja y bueno te sale lo que querias probar.
y bueno, en el tres no se me ocurre como probar para induccion la parte donde cumple para n+1 rectas.
ResponderBorrarpor que no me dijiste bien a mi? no esta bien?
ResponderBorrarEn el primero bueno, como 2011 es primo, por wilson, 2010! es congruente a -1 y 2010 es tambien congruente a -1, estonces 2009! es congruente a 1 mod 2011 y por tanto 2009!-1 no es primo. De donde es este? por que como que aplica para 2 años.
a"=a(square)
ResponderBorrara"b"+b"c"+c"a">=abc(a+b+c) <=>
2a"b"+2b"c"+2c"a">=2abc(a+b+c) <=>
2a"b"+2b"c"+2c"a"-2a"bc-2ab"c-2abc">=0 <=>
(a"b"-2a"bc+c"a")+(b"c"-2ab"c+a"b")+(c"a"-2abc"+b"c")>=0 <=>
(ab-ac)"+(bc-ab)"+(ca-bc)">=0
lo cual es cierto por que un cuadrado siempre es mayor o igual a cero
El problema uno originalmente era con 1985 o algo asi... pero el numero n claramente funciona en el problema si n+2 es primo.
ResponderBorrarBien todos!!