Sea a un entero positivo con a>1. Muestra que para cada entero positivo n, el número: n(2n+1)(3n+1)...(an+1) es divisible entre todos los números primos menores que a.
Perdon, la sugerencia es: si p divide a n ya acabaste, si no fijate en (2n+1),(3n+1),...,(pn+1)((p+1)n+1) son p números de los cuales te gustaria que uno fuera congruente con 0 mod p. Si no hubiera dos congruentes mod p ya acabaste no??
Bueno tenemos dos casos: 1.- cuando n divide al primo que solo seria en pocos o ningun caso. Pero con el caso siguiente es para todos aquellos primos donde n no lo divida. 2.-sabemos que los numeros 2,3,4,...,p, p+1 es un sistema completo de residuos para modulo p, por lo tanto al multiplica por un n que no es divisible entre p. vamos a tener 2n,3n,4n,...,pn,(p+1)n por lo tanto este va a seguir siendo un sistema completo de residuos modulo p o para p, por lo tanto al sumarle 1 a cada numero va a seguir siendo un sistema completo. Bueno y sabemos que alguno de ellos va a ser congruente con 0 "mod p" y por lo tanto la multiplicacion de todos va a ser congruente con 0 (mod p). Sabemos que esto siempre pasa porque todos deben de ser primos menores a "a" y pues bueno imaginemos que a-1 es primo, entonces el p+1 sigue estando dentro de nuestro sistema. y creo q con esto acabas.
alguna sugerencia? no se me ocurre por donde empezar..
ResponderBorrarDemuestra que p divide a n(2n+1)(3n+1)...((p-1)n+1) para eso analiza los números mod p.
ResponderBorrarPerdon, la sugerencia es: si p divide a n ya acabaste, si no fijate en (2n+1),(3n+1),...,(pn+1)((p+1)n+1) son p números de los cuales te gustaria que uno fuera congruente con 0 mod p. Si no hubiera dos congruentes mod p ya acabaste no??
ResponderBorrarBueno tenemos dos casos:
ResponderBorrar1.- cuando n divide al primo que solo seria en pocos o ningun caso. Pero con el caso siguiente es para todos aquellos primos donde n no lo divida.
2.-sabemos que los numeros 2,3,4,...,p, p+1 es un sistema completo de residuos para modulo p, por lo tanto al multiplica por un n que no es divisible entre p. vamos a tener 2n,3n,4n,...,pn,(p+1)n por lo tanto este va a seguir siendo un sistema completo de residuos modulo p o para p, por lo tanto al sumarle 1 a cada numero va a seguir siendo un sistema completo. Bueno y sabemos que alguno de ellos va a ser congruente con 0 "mod p" y por lo tanto la multiplicacion de todos va a ser congruente con 0 (mod p). Sabemos que esto siempre pasa porque todos deben de ser primos menores a "a" y pues bueno imaginemos que a-1 es primo, entonces el p+1 sigue estando dentro de nuestro sistema. y creo q con esto acabas.
no habia visto la segund aparte de tu sugerencia, pero pues es casi lo que hice no?
ResponderBorrarperdon en el priemr caso es cuando p divide a n, me equivoque.
ResponderBorrarBien!
ResponderBorrarPor qué al sumarle 1 seguirá siendo un sistema completo de reciduos? Por el p+1?
ResponderBorrarporque el 1 se vuelve 2, el 2 se vuelve tres etc, el p-1 se vuelve 0.
ResponderBorrar