Problema 3 Arreglos de numeros. El total de casillas es de n^4. Entre dos casillas que comparten lado, la diferencia maxima es n. Es facil ver que la diferencia maxima en el tablero sera entre aquellas casillas mas separadas, las cuales son las esquinas diametralmente opuestas. Ahora bien, si en una esquina se pone el numero k, en la esquina diametralmente opuesta podra haber un numero con a lo mas diferencia de (2n^3)-(2n). Entonces la cantidad maxima de numeros diferententes es de (2n^3)-(2n)+1. Supongamos que no hay al menos (n/2)+1 repeticiones del mismo numero de ningun numero. si n es par, la maxima cantidad de numeros que podria haber seria (2n^3-2n+1)(n/2)=n^4-n^2+n/2, y si n impar, (2n^3-2n+1)(n-1/2)=n^4-n^3-n^2+n+(n-1)/2 Lo cual para n entero, en ambos casos siempre es menor que n^4. Esto significa que no podriamos llenar todas nuestras casillas. Contradiccion de suponer que no hay al menos (n/2)+1 repeticiones del mismo numero de ningun numero.
Problema 4 Supongamos que no hay dos casillas adyacentes tal que la diferencia de los numeros colocados en ellas no es menor que n+1. Entonces cualesquiera dos casillas adyacentes, su diferencia maxima es n. Es facil ver que la distancia maxima de un numero a otro es de esquina a esquina, y esa distancia es n-1. Pero ahora agarremos al 1, la distancia maxima a cualquier otro punto del tablero, sera de n-1 y si la diferencia entre cada dos casillas adyacentes es a lo mas n, el maximo numero que podra estar en el tablero, sera (n-1)(n)+1=n^2-n+1<=n^2 y la igualdad solo se da cuando n=1 y en este caso, el problema es trivial. Esto quiere decir que no podra estar en el tablero el n^2, pero debe de estar, Contradiccion de suponer que la diferencia maxima entre dos casillas adyacentes es a lo mas n.
problema 4 contar dos veces Tenemos que b_1=n y b_m=cantidad de a_i´s=m. ¿Cuantas b´s seran iguales a b_m? Hagamos unos ejemplos a_1=1 a_2=2 b_1=2 b_2=1 a_1=1 a_2=3 b_1=2 b_2=1 b_3=1 a_1=1 a_2=8 b_1=2 b_(2,3,4,5,6,7,8)=1 a_1=1 a_2=8 a_3=8 b_1=3 b_(2,3,4,5,6,7,8)=2 Entendiendo un poco mejor, podemos afirmar que la cantidad de b´s iguales a b_m es la diferencia entre m (El valor maximo de nuestras a_i´s) y el siguiente valor maximo de las a_i´s diferente de m. Lo anterior es facil de explicar, b_k sera diferente de b_m hasta que k<=a_x (menor inmediata a) a_n=m. Esto significa que todas las b_i para (a_x)<i<=m tomaran el mismo valor de b_m ya que aun no son menores o iguales que el siguente valor de las a´s. Lo anterior puede ser generalizado como b_i=b_x para cualquier i a_p < i <= x=a_q con a_p y a_q cantidades diferentes consecutivas. Y entonces la cantidad de b´s iguales a b_x sera la diferencia entre a_q=x y a_p. Hagamos un ejemplo.
a_1=2 a_2=5 a_3=5 a_4=6 a_5=9 a_6=11 a_7=11=m b_11=2=cantidad de a_i´s iguales a m. b_i=b_11 para 9 < i <= 11 (ya que 9 y 11 son las cantidades diferentes consecutivas), entonces hay 2 b´s=b_m=b_11. La cantidad de b´s iguales a b_9 sera la diferencia entre 9 y su menor a inmediato, en este caso 6. Osea habra 3 b´s=b_9. Quedando claro esto, expresemos cada a_i como suma de "unos" en m espacios, colocandolos de izquierda a derecha. Cada espacio es una b diferente, dependiendo del lugar en el que este. Utilizando el ejemplo anterior: b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 b_9 b_10 b_11 a_1 1 1 a_2 1 1 1 1 1 a_3 1 1 1 1 1 a_4 1 1 1 1 1 1 a_5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a_6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a_7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 6 6 6 4 3 3 3 2 2
Expresando de esta forma la igualdad, vemos que se cumple ya que el lado izquierdo es como la suma por renglones y el lado derecho es la suma por columnas. Sabemos que la tabla va a encajar, ya que aclaramos que la cantidad de b_i´s iguales va a ser la diferencia entre dos valores diferentes de a´s consecutivos. Y por tanto es cierta la igualdad.
PAra el 3, tenemos que la diferencia máxima, que es la de esquina a esquina es (2n^3 - 2n) y sabemos que hay n^4 casillas, si se hace la división de polinomios, nos da como resultado n/2 mas un residuo, entonces por casillas hay un número que se repite n/2 + 1 veces.
ok me tardé bastante en este problema: Para el 4 empezamos suponiendo que no hay ninguna diferencia mayor a n, por lo tanto si nos fijamos en las diferencias de las casillas tomando los lados de una esquina a otra es de 2n^2 - 2n pero si nos fijamos por los vertices adyacentes entonces la diferencia es de n^2 - n y sabemos que es la máxima. pero por el otro lado tenemos que la diferencia maxima es n^2 -1 por ser el numero ams grande y mas chico que tenemos entonces se puede ver facilmente que n^2 -n <= n^2 -1 y pues solo es igual en el caso de n igual 1, entonces para un n mayor que 1 no existirian los numeros suficientes para llenar las casillas. por lo tanto e suna contradicción.
Ok ya es muy tarde y nos e si se entiende, pero bueno el otro no me salió. Mañana pongo algunos de los de geometria.
Problema 3 Arreglos de numeros.
ResponderBorrarEl total de casillas es de n^4. Entre dos casillas que comparten lado, la diferencia maxima es n. Es facil ver que la diferencia maxima en el tablero sera entre aquellas casillas mas separadas, las cuales son las esquinas diametralmente opuestas. Ahora bien, si en una esquina se pone el numero k, en la esquina diametralmente opuesta podra haber un numero con a lo mas diferencia de (2n^3)-(2n). Entonces la cantidad maxima de numeros diferententes es de (2n^3)-(2n)+1. Supongamos que no hay al menos (n/2)+1 repeticiones del mismo numero de ningun numero.
si n es par, la maxima cantidad de numeros que podria haber seria (2n^3-2n+1)(n/2)=n^4-n^2+n/2, y si n impar, (2n^3-2n+1)(n-1/2)=n^4-n^3-n^2+n+(n-1)/2
Lo cual para n entero, en ambos casos siempre es menor que n^4. Esto significa que no podriamos llenar todas nuestras casillas. Contradiccion de suponer que no hay al menos (n/2)+1 repeticiones del mismo numero de ningun numero.
Problema 4
ResponderBorrarSupongamos que no hay dos casillas adyacentes tal que la diferencia de los numeros colocados en ellas no es menor que n+1. Entonces cualesquiera dos casillas adyacentes, su diferencia maxima es n.
Es facil ver que la distancia maxima de un numero a otro es de esquina a esquina, y esa distancia es n-1. Pero ahora agarremos al 1, la distancia maxima a cualquier otro punto del tablero, sera de n-1 y si la diferencia entre cada dos casillas adyacentes es a lo mas n, el maximo numero que podra estar en el tablero, sera (n-1)(n)+1=n^2-n+1<=n^2 y la igualdad solo se da cuando n=1 y en este caso, el problema es trivial. Esto quiere decir que no podra estar en el tablero el n^2, pero debe de estar, Contradiccion de suponer que la diferencia maxima entre dos casillas adyacentes es a lo mas n.
problema 4 contar dos veces
ResponderBorrarTenemos que b_1=n y b_m=cantidad de a_i´s=m.
¿Cuantas b´s seran iguales a b_m? Hagamos unos ejemplos
a_1=1 a_2=2 b_1=2 b_2=1
a_1=1 a_2=3 b_1=2 b_2=1 b_3=1
a_1=1 a_2=8 b_1=2 b_(2,3,4,5,6,7,8)=1
a_1=1 a_2=8 a_3=8 b_1=3 b_(2,3,4,5,6,7,8)=2
Entendiendo un poco mejor, podemos afirmar que la cantidad de b´s iguales a b_m es la diferencia entre m (El valor maximo de nuestras a_i´s) y el siguiente valor maximo de las a_i´s diferente de m. Lo anterior es facil de explicar, b_k sera diferente de b_m hasta que k<=a_x (menor inmediata a) a_n=m. Esto significa que todas las b_i para (a_x)<i<=m tomaran el mismo valor de b_m ya que aun no son menores o iguales que el siguente valor de las a´s.
Lo anterior puede ser generalizado como
b_i=b_x para cualquier i
a_p < i <= x=a_q con a_p y a_q cantidades diferentes consecutivas.
Y entonces la cantidad de b´s iguales a b_x sera la diferencia entre a_q=x y a_p.
Hagamos un ejemplo.
a_1=2 a_2=5 a_3=5 a_4=6 a_5=9 a_6=11 a_7=11=m
b_11=2=cantidad de a_i´s iguales a m.
b_i=b_11 para 9 < i <= 11 (ya que 9 y 11 son las cantidades diferentes consecutivas), entonces hay 2 b´s=b_m=b_11.
La cantidad de b´s iguales a b_9 sera la diferencia entre 9 y su menor a inmediato, en este caso 6. Osea habra 3 b´s=b_9.
Quedando claro esto, expresemos cada a_i como suma de "unos" en m espacios, colocandolos de izquierda a derecha. Cada espacio es una b diferente, dependiendo del lugar en el que este.
Utilizando el ejemplo anterior:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 b_9 b_10 b_11 a_1 1 1
a_2 1 1 1 1 1
a_3 1 1 1 1 1
a_4 1 1 1 1 1 1
a_5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a_6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a_7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 7 6 6 6 4 3 3 3 2 2
Expresando de esta forma la igualdad, vemos que se cumple ya que el lado izquierdo es como la suma por renglones y el lado derecho es la suma por columnas. Sabemos que la tabla va a encajar, ya que aclaramos que la cantidad de b_i´s iguales va a ser la diferencia entre dos valores diferentes de a´s consecutivos. Y por tanto es cierta la igualdad.
Rogelio, nos podrias dar tiempo hasta el domingo en la noche? lo que pasa es que esta semana no tuve tiempo.
ResponderBorrarPAra el 3, tenemos que la diferencia máxima, que es la de esquina a esquina es (2n^3 - 2n) y sabemos que hay n^4 casillas, si se hace la división de polinomios, nos da como resultado n/2 mas un residuo, entonces por casillas hay un número que se repite n/2 + 1 veces.
ResponderBorrarok me tardé bastante en este problema:
ResponderBorrarPara el 4 empezamos suponiendo que no hay ninguna diferencia mayor a n, por lo tanto si nos fijamos en las diferencias de las casillas tomando los lados de una esquina a otra es de 2n^2 - 2n pero si nos fijamos por los vertices adyacentes entonces la diferencia es de n^2 - n y sabemos que es la máxima. pero por el otro lado tenemos que la diferencia maxima es n^2 -1 por ser el numero ams grande y mas chico que tenemos entonces se puede ver facilmente que n^2 -n <= n^2 -1 y pues solo es igual en el caso de n igual 1, entonces para un n mayor que 1 no existirian los numeros suficientes para llenar las casillas. por lo tanto e suna contradicción.
Ok ya es muy tarde y nos e si se entiende, pero bueno el otro no me salió. Mañana pongo algunos de los de geometria.