Sea ABC triangulo y el incirculo toca a los lados BC, CA y AB en D,E y F respect. sean P, Q y R los incentros de los triangulos EAF,FBD y DCE respect. demuestra que DP,EQ y FR concurren.
Sale, lo voy a resumir: Hicimos un ejercicio contigo Daniel, que decía en pocas palabras probabamos que estos 3 nuevos incentros que tenemos, están sobre el incirculo del triangulo ABC. Abajo haré la prueba demostrando esto y tambien demostrare que los arcos siguientes son iguales. PF=PE, FQ=QD y DR=RE. Tenemos que FPERDQ estan sobre la misma circunferencia y por angulos inscritos, <FDP=<FDE, <FEQ=<QED y <EFR=<RFD y nos fijamos en el triangulo FED y es facil ver que DP, EQ y FR son sus bisectricez, por lo tanto concurren. Ahora haré la prueba de que estos nuevos incentros estan sobre el incirculo de ABC. Nos fijamos en el triangulo AFE y llamamos a la intereseccion de la bisectriz de A con el incirculo de ABC, P. Trazamos FP y PE, pero por congruencia de los triangulos PEA y PFA, <AFP=<AEF= a y ahora por que estos son angulos semi-inscritos tenemos que <FIE es igual a <FIP +<EIP= 2a + 2a = 4a y de nuevo por seminsctiro de <FIE, el angulo AFE= 2a, pero ya teniamos que <AFP=a, por lo tanto FP es otra bisectriz y P es el incentro de AFE.
Nombremos I el incentro, AI es mediatriz de EF, por que AFE es isosceles. Sea K el punto donde AI corta al incirculo (en el arco EF). Tenemos que ang FIK= ang KIE ya que abren el mismo arco (por que es mediatriz). Checando con angulos inscritos, se tiene que el incentro del triangulo AFE esta en el punto medio del arco EF. Entonces K=P. Analogamente con los otros 3. Ahora nos fijamos en el triangulo DEF y es facil ver que DP, EQ y FR son las bisectricez y por tanto concurren. Disculpa por no publicar antes.
Sale, lo voy a resumir: Hicimos un ejercicio contigo Daniel, que decía en pocas palabras probabamos que estos 3 nuevos incentros que tenemos, están sobre el incirculo del triangulo ABC. Abajo haré la prueba demostrando esto y tambien demostrare que los arcos siguientes son iguales. PF=PE, FQ=QD y DR=RE.
ResponderBorrarTenemos que FPERDQ estan sobre la misma circunferencia y por angulos inscritos, <FDP=<FDE, <FEQ=<QED y <EFR=<RFD y nos fijamos en el triangulo FED y es facil ver que DP, EQ y FR son sus bisectricez, por lo tanto concurren.
Ahora haré la prueba de que estos nuevos incentros estan sobre el incirculo de ABC.
Nos fijamos en el triangulo AFE y llamamos a la intereseccion de la bisectriz de A con el incirculo de ABC, P. Trazamos FP y PE, pero por congruencia de los triangulos PEA y PFA, <AFP=<AEF= a y ahora por que estos son angulos semi-inscritos tenemos que <FIE es igual a <FIP +<EIP= 2a + 2a = 4a y de nuevo por seminsctiro de <FIE, el angulo AFE= 2a, pero ya teniamos que <AFP=a, por lo tanto FP es otra bisectriz y P es el incentro de AFE.
Nombremos I el incentro, AI es mediatriz de EF, por que AFE es isosceles. Sea K el punto donde AI corta al incirculo (en el arco EF). Tenemos que ang FIK= ang KIE ya que abren el mismo arco (por que es mediatriz). Checando con angulos inscritos, se tiene que el incentro del triangulo AFE esta en el punto medio del arco EF. Entonces K=P. Analogamente con los otros 3. Ahora nos fijamos en el triangulo DEF y es facil ver que DP, EQ y FR son las bisectricez y por tanto concurren. Disculpa por no publicar antes.
ResponderBorrar