Sea ABC un triángulo acutángulo escaleno cuyo ortocentro es H. M es el punto medio del segmento BC. N es el punto donde se intersecan el segmento AM y la circunferencia determinada por B, C y H. Demuestre que las rectas HN y AM son perpendiculares.
Creo que este problema es más complicado de lo que pensé mejor primero prueben estos dos lemas que pueden ser útiles en otros problemas:
1) Sea ABC un triángulo cuyo ortocentro es H, entonces los circuncírculos de los triángulos ABC,ABH,BCH,CAH tienen todos el mismo radio.
2) Sea ABC un triángulo, A1 el punto diametralmente a A en el cicuncírculo. Sean D y E los pies de las perpendiculares desde A y A1 sobre BC respect. demuestra que D y E son conjugados isotómicos(DB=EC que es lo mismo que DC=EB)
Ya teniendo estos dos lemas en mente es más fácil atacar el problema
Sea P el segundo punto de intersección de AN con la circunferencia determinada por B, C y H. El problema se transforma en ver que H y P son diametralmente opuestos.
Si P1 es el reflejado de A con respecto a M usa el lema 1 para ver que P=P1. Luego usa el Lema 2 al revés en el triangulo PBC
Creo que este problema es más complicado de lo que pensé mejor primero prueben estos dos lemas que pueden ser útiles en otros problemas:
ResponderBorrar1) Sea ABC un triángulo cuyo ortocentro es H, entonces los circuncírculos de los triángulos ABC,ABH,BCH,CAH tienen todos el mismo radio.
2) Sea ABC un triángulo, A1 el punto diametralmente a A en el cicuncírculo. Sean D y E los pies de las perpendiculares desde A y A1 sobre BC respect. demuestra que D y E son conjugados isotómicos(DB=EC que es lo mismo que DC=EB)
Ya teniendo estos dos lemas en mente es más fácil atacar el problema
Hint:
ResponderBorrarSea P el segundo punto de intersección de AN con la circunferencia determinada por B, C y H. El problema se transforma en ver que H y P son diametralmente opuestos.
Si P1 es el reflejado de A con respecto a M usa el lema 1 para ver que P=P1. Luego usa el Lema 2 al revés en el triangulo PBC