En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los 2 vértices que forman la arista. Sean A la suma de los números escritos en las aristas y V la suma de los números escritos en los vértices.
(a) Muestra que 2A/3 ≤ V
(b) ¿Es posible que A = V ?
Hint:
ResponderBorrara) si el número a esta escrito en una arista que sale de un vértice con número b sabemos que a≤b podemos fijarnos en 24 desigualdades como esta y al sumarlas obtenemos que 2A≤3V
b) No es posible. veamos que si en dos vértices que forman una arista tenemos los números a y b, en la arista pondremos el número d=mcd(a,b) pero como ay b son distintos supongamos spdg que a<b entonces d≤a<b y como d divide a a entonces 2d≤b
por lo tanto 3d≤a+b luego si sumamos las 8 desigualdades análogas obtenemos que A ≤ V ahora solo falta ver que alguna de las desigualdades anteriores es estricta (no ocurre la igualdad)
Bueno, el inciso a ya lo dijiste jaja y además ya me había salido.
ResponderBorrarPara ver que en el b una de las desigualdades es estricta, supongamos que tenemos 3 vértices a1,a2,a3 tales que a1-a2 y a1-a3 son aristas. Entonces, sean d1,d2 los mcd de a1,a2 y a1,a3. Si se da que 3d1=a1+a2 y 3d2=a1+a3, entonces... la primera igualdad implica que como (si a2>a1 spg) a2 es al menos 2d1, entonces a2=2d1, ya que si a2=3d1, entonces a1=0. Pero en ese caso, a1=d1. Y análogamente a1 será igual d2 por la otra igualdad. Entonces a2=a3, contradicción!