El 1. Supongamos que p<5. Tenemos que si P es congruente a 2 o 3 (mod5), entonces 6p^2 +1 es congruente a 0(mod 5). y si P es congruente a 1 o 4 (mod 5), entonces 4p^2 +1 es congruente a 0. Entonces p<5, pues de otra forma, 5 dividiría a alguno de 4p^2 + 1 y 6p^2 + 1 y esto sería una contradicción, pues estos deben ser primos mayores a 5. Y verificamos los casos y vemos que el 5 sí cumple y que el 2 y el 3 no. Entonces 5 es la única solución.
Sean los naturales a-2,a-1,a,a+1,a+2. La suma de sus cuadrados es 5a^2 +10= 5(a^2 +2). Veamos que los residuos cuadráticos (mod4) son 1 y 0. Entonces a^2 +2 es congruente a 2 o 3 (mod4) y 5(a^2 +2) también será congruente a 2 o 3(mod 4), pues 5 es congruente a 1. Entonces, esto no puede ser un cuadrado perfecto. jaja me pregunto si no pusiste este problema sólo para demostrar que (mod4) podía ser útil.
El 1.
ResponderBorrarSupongamos que p<5. Tenemos que si P es congruente a 2 o 3 (mod5), entonces 6p^2 +1 es congruente a 0(mod 5). y si P es congruente a 1 o 4 (mod 5), entonces 4p^2 +1 es congruente a 0. Entonces p<5, pues de otra forma, 5 dividiría a alguno de 4p^2 + 1 y 6p^2 + 1 y esto sería una contradicción, pues estos deben ser primos mayores a 5.
Y verificamos los casos y vemos que el 5 sí cumple y que el 2 y el 3 no.
Entonces 5 es la única solución.
Sean los naturales a-2,a-1,a,a+1,a+2.
ResponderBorrarLa suma de sus cuadrados es 5a^2 +10= 5(a^2 +2). Veamos que los residuos cuadráticos (mod4) son 1 y 0. Entonces a^2 +2 es congruente a 2 o 3 (mod4) y 5(a^2 +2) también será congruente a 2 o 3(mod 4), pues 5 es congruente a 1. Entonces, esto no puede ser un cuadrado perfecto.
jaja me pregunto si no pusiste este problema sólo para demostrar que (mod4) podía ser útil.
Bn, también podías ver que 5 no divide a^2 +2
BorrarHints
ResponderBorrar1)ver módulos 2,3,5 etc. hasta que alguno sirva
2)escribir los 5 números de una forma que simplifique los cálculos: a-2,a-1,a,a+1,a+2