el 2° por pitágoras a^2+b^2=c^2 de donde es fácil ver por pariedad que alguno tiene que ser par, nos fijamos que las congruencias del 3 de un numero al cuadrado pueden ser 0 y 1 de donde entre a^2 y b^2 uno es congruente con 0 mod 3 ya que si no c^2 seria congruente con 2 mod 3 que es una contradicción. igualmente nos fijamos que las congruencias de un cuadrado con 5 son 0,1 y 4. si a o b congruentes a 0, o (1,4) ya terminamos , por lo tanto nos supones que a^2, b^2 congruentes a 1,1 y congruentes a 4,4 de donde c^2 es congruente a 2 y 3 respectivamente lo cual es una contradicción entonces al menos uno de a, b y c es congruente con 0 mod 5. Entonces abc es multiplo de 30.
El 1 ya (más fácil de lo que pensaba :O) Sea n^2 + 3n + 5 =F Primero veamos que 121|F implica 11|F. Ahora, sabemos que n tiene una congruencia (mod11) entonces sustituimos n por distintas congruencia para ver en qué casos es posible que la expresión sea congruente a 0(mod 11). El único caso posible es cuando n es congruente a 4 (mod11) (esto es fácil de verificar). Luego, n debe ser de la forma 11k+4. Supongamos ahora que 121 divide a la expresión. Sustituyamos n por 11k+4 y al desarrollar obtenemos F= 121k^2 + 121k + 33. Es claro que 121 divide a 121k^2 + 121k, entonces para que 121 divida a todo, 33 debe ser congruente a 0 (mod 121). Pero esto no es cierto y entonces no es posible.
Bueno el 2: Supongamos a<=b<c (SPG), y entonces c es claramente la hipotenusa. Por Pitágoras y tenemos a^2 + b^2= c^2. Luego, veamos que 30 = 2*5*3. entonces si probamos que 2, 5, y 3 dividen a abc, entonces 30 lo divide. Ahora, sabemos que como 2, 5, y 3 son primos, dividen a abc si y sólo si dividen a (abc)^2 = (ab)^2 (a^2 + b^2) Primero veamos el caso del 2. Si a^2 o b^2 son pares, es claro que el número será par, pues estos están multiplicando. Entonces supongamos que ambos son impares, pero entonces (a^2 + b^2) es par y 2 lo sigue dividiendo. Ahora, el caso de 3. Los residuos cuadráticos (mod3) son 0 y 1. Si a^2 o b^2 son congruentes a 0 (mod3) entonces pasa lo mismo que con 2 y 3 divide al número. Y si ambos son congruentes a 1, entonces (a^2 + b^2) es congruente a 2, pero esto no es posible, pues (a^2 + b^2) es un cuadrado perfecto. Ahora, veamos el caso del 5. Los residuos cuadráticos (mod5) son 0,l y 4. Si alguno de nuestros números es congruente a 0, de nuevo acabamos. Entonces supongamos que no. Hay 3 combinaciones: 1,1; 1,4; 4,4. Si pasa lo primero, (a^2 + b^2) es congruente a 2 y esto de nuevo no es posible por ser cuadrado. Si pasa lo segundo, (a^2 + b^2) es congruente a 0 y acabamos. Si pasa lo 3ro, (a^2 + b^2) es congruente a 3 y esto no es posible. Entonces en los casos que si son posibles, 5 lo divide. Entonces 30 lo divide.
1)Primero usar módulo 11 y reducir las opciones luego si llegas a que n es congruente con k mod 11 sustituir n=11a+k con a entero y ver mod 121
2)El problema gritar usar pitagoras, ademas deben simplificar lo que queremos demostrar viendo que 30|abc si y solo si 2 divide a alguno de a,b o c; 3 divide a alguno de a,b o c y 5 divide a alguno de a,b o c. para ver esto último se antoja módulos
el 2°
ResponderBorrarpor pitágoras a^2+b^2=c^2 de donde es fácil ver por pariedad que alguno tiene que ser par, nos fijamos que las congruencias del 3 de un numero al cuadrado pueden ser 0 y 1 de donde entre a^2 y b^2 uno es congruente con 0 mod 3 ya que si no c^2 seria congruente con 2 mod 3 que es una contradicción. igualmente nos fijamos que las congruencias de un cuadrado con 5 son 0,1 y 4. si a o b congruentes a 0, o (1,4) ya terminamos , por lo tanto nos supones que a^2, b^2 congruentes a 1,1 y congruentes a 4,4 de donde c^2 es congruente a 2 y 3 respectivamente lo cual es una contradicción entonces al menos uno de a, b y c es congruente con 0 mod 5. Entonces abc es multiplo de 30.
El 1 ya (más fácil de lo que pensaba :O)
ResponderBorrarSea n^2 + 3n + 5 =F
Primero veamos que 121|F implica 11|F. Ahora, sabemos que n tiene una congruencia (mod11) entonces sustituimos n por distintas congruencia para ver en qué casos es posible que la expresión sea congruente a 0(mod 11). El único caso posible es cuando n es congruente a 4 (mod11) (esto es fácil de verificar).
Luego, n debe ser de la forma 11k+4.
Supongamos ahora que 121 divide a la expresión. Sustituyamos n por 11k+4 y al desarrollar obtenemos F= 121k^2 + 121k + 33.
Es claro que 121 divide a 121k^2 + 121k, entonces para que 121 divida a todo, 33 debe ser congruente a 0 (mod 121). Pero esto no es cierto y entonces no es posible.
Muy bien, donde pusiste (esto es fácil de verificar) esta bien que lo pongas en el blog, pero en un examen mejor escríbelo bn
BorrarJaja lo sé, es que en el blog da un buen de hueva escribirlo.
BorrarBueno el 2:
ResponderBorrarSupongamos a<=b<c (SPG), y entonces c es claramente la hipotenusa.
Por Pitágoras y tenemos a^2 + b^2= c^2. Luego, veamos que 30 = 2*5*3. entonces si probamos que 2, 5, y 3 dividen a abc, entonces 30 lo divide. Ahora, sabemos que como 2, 5, y 3 son primos, dividen a abc si y sólo si dividen a (abc)^2 = (ab)^2 (a^2 + b^2)
Primero veamos el caso del 2. Si a^2 o b^2 son pares, es claro que el número será par, pues estos están multiplicando. Entonces supongamos que ambos son impares, pero entonces (a^2 + b^2) es par y 2 lo sigue dividiendo.
Ahora, el caso de 3. Los residuos cuadráticos (mod3) son 0 y 1.
Si a^2 o b^2 son congruentes a 0 (mod3) entonces pasa lo mismo que con 2 y 3 divide al número. Y si ambos son congruentes a 1, entonces (a^2 + b^2) es congruente a 2, pero esto no es posible, pues (a^2 + b^2) es un cuadrado perfecto.
Ahora, veamos el caso del 5. Los residuos cuadráticos (mod5) son 0,l y 4. Si alguno de nuestros números es congruente a 0, de nuevo acabamos. Entonces supongamos que no. Hay 3 combinaciones: 1,1; 1,4; 4,4. Si pasa lo primero, (a^2 + b^2) es congruente a 2 y esto de nuevo no es posible por ser cuadrado. Si pasa lo segundo, (a^2 + b^2) es congruente a 0 y acabamos. Si pasa lo 3ro, (a^2 + b^2) es congruente a 3 y esto no es posible. Entonces en los casos que si son posibles, 5 lo divide.
Entonces 30 lo divide.
Hints:
ResponderBorrar1)Primero usar módulo 11 y reducir las opciones luego si llegas a que n es congruente con k mod 11 sustituir n=11a+k con a entero y ver mod 121
2)El problema gritar usar pitagoras, ademas deben simplificar lo que queremos demostrar viendo que 30|abc si y solo si 2 divide a alguno de a,b o c; 3 divide a alguno de a,b o c y 5 divide a alguno de a,b o c. para ver esto último se antoja módulos