Bueno, en realidad estaba fácil el problema... Nos fijamos en lo que dice el hint de la siguiente forma: Hay a lo más 5 múltiplos de 2. Hay a lo más 2 múltiplos de 3 que no son múltiplos de 2. Para esto, hay dos casos: a) Hay sólo un par múltilplo de 3, en cuyo caso hay sólo otros 2 múltiplos de 3. b) Hay dos pares múltiplos de 3, en cuyo caso hay sólo dos impares múltiplos de 3. Luego, hay a lo más un múltiplo de 5 que no sea múltiplo de 2 y lo mismo con 7. Entonces, en 10 consecutivos, debe haber uno que no sea múltiplo de estos números. Ahora sólo falta probar que ese número es primo relativo con todos los demás, y esto es fácil. Hay dos casos. a) El número es 1, en cuyo caso si es cierto. b) el número es > 1. El menor número que cumple es 11, pero es claro que entre 10 números, no pueden haber dos múltiplos de 11 ni de ningún primo mayor(que son los únicos que pueden dividir a nuestro número), por lo cual sí es primo relativo con los demás. Entonces, es claro que el producto de los otros 9 si es primo relativo con el número, pues el número era primo relativo con cada uno de los números.
Hint:
ResponderBorrarvean que de 10 enteros positivos consecutivos existe uno que no es múltiplo de 2,3,5 ni de 7
Bueno, en realidad estaba fácil el problema...
ResponderBorrarNos fijamos en lo que dice el hint de la siguiente forma:
Hay a lo más 5 múltiplos de 2.
Hay a lo más 2 múltiplos de 3 que no son múltiplos de 2. Para esto, hay dos casos:
a) Hay sólo un par múltilplo de 3, en cuyo caso hay sólo otros 2 múltiplos de 3.
b) Hay dos pares múltiplos de 3, en cuyo caso hay sólo dos impares múltiplos de 3.
Luego, hay a lo más un múltiplo de 5 que no sea múltiplo de 2 y lo mismo con 7.
Entonces, en 10 consecutivos, debe haber uno que no sea múltiplo de estos números.
Ahora sólo falta probar que ese número es primo relativo con todos los demás, y esto es fácil. Hay dos casos.
a) El número es 1, en cuyo caso si es cierto.
b) el número es > 1. El menor número que cumple es 11, pero es claro que entre 10 números, no pueden haber dos múltiplos de 11 ni de ningún primo mayor(que son los únicos que pueden dividir a nuestro número), por lo cual sí es primo relativo con los demás.
Entonces, es claro que el producto de los otros 9 si es primo relativo con el número, pues el número era primo relativo con cada uno de los números.