Tomamos k=mcd(a,c). Entonces a=kx y c=ky. Luego, hacemos lo análogo con b y d. Sea f su mcd, entonces los podemos escribir como b=fw y d=fz. Luego, entonces, por la primera condición, kxfw=kyfz, de donde se sigue que xw=yz. Ahora, veamos que mcd(x,y)=1, ya que x y y son los factores de a y c que no comparten. Análogamente mcd(w,z)=1. Entonces todos los factores de y están en w y todos los factores de w están en y, por lo que w=y y análogamente x=z. Entonces a=kz, b=fy, c=ky, d=fz, que es lo que queríamos ver. Ahora, para probar el inciso b, utilizamos lo que acabamos de demostrar y escribimos a=kl, b=mn, c=km, d=ln. Entonces a+b+c+d= kl+mn+km+ln, lo que se puede factorizar como (k+n)(l+m) y de aquí ya es fácil ver que el número no es primo, pues l+m≥2, ya que l y m son positivos y análogamente con el otro paréntesis, entonces como ningún paréntesis puede ser ≤1, el número no puede ser primo.
Hint:
ResponderBorrarVayan construyendo a k,l,m y n Pueden empezar por tomarse a k=mcd(a,c)
Tomamos k=mcd(a,c). Entonces a=kx y c=ky. Luego, hacemos lo análogo con b y d. Sea f su mcd, entonces los podemos escribir como b=fw y d=fz. Luego, entonces, por la primera condición, kxfw=kyfz, de donde se sigue que xw=yz. Ahora, veamos que mcd(x,y)=1, ya que x y y son los factores de a y c que no comparten. Análogamente mcd(w,z)=1. Entonces todos los factores de y están en w y todos los factores de w están en y, por lo que w=y y análogamente x=z. Entonces a=kz, b=fy, c=ky, d=fz, que es lo que queríamos ver.
ResponderBorrarAhora, para probar el inciso b, utilizamos lo que acabamos de demostrar y escribimos a=kl, b=mn, c=km, d=ln. Entonces a+b+c+d= kl+mn+km+ln, lo que se puede factorizar como (k+n)(l+m) y de aquí ya es fácil ver que el número no es primo, pues l+m≥2, ya que l y m son positivos y análogamente con el otro paréntesis, entonces como ningún paréntesis puede ser ≤1, el número no puede ser primo.
muy bn, te salio más bonito que a mi, creo
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