1)El triángulo ABC es equilátero y en el arco BC de su circuncírculo se toma un punto arbitrario M. Demostrar que AM = BM + CM.
2) Demostrar que la bisectríz del ángulo recto de un triángulo rectángulo divide por la mitad el ángulo entre la mediana y la altura bajadas sobre la hipotenusa.
Bueno en el 1 tenemos que por semejanza de ABN con AMB (por el criterio AA), AB/AM= AN/AB= BN/MB entonces AM= (AB^2)/AN y BM= (AB*BN)/AN
ResponderBorrarLuego, por la semejanza de CMN con ABN, CM/AB= CN/AN. Entonces CM= (AB*CN)/AN. Luego, BN+CN= AB(BN+CN)/AN= AB(BC)/AN= AB^2/AN= AM.
bn
Borrar2)
ResponderBorrarSean K, I, M los pies de la altura, bisectriz, mediana; repectivamente.
Sean <KAI=x y <IAM=z. Tenemos que, como AI es bisectriz, <MAC=45-z y de manera análoga, <KAB=45-x.
Luego, por el triángulo ABK, tenemos que <ABK=45+x y entonces, por el triángulo ABC, <ACB=45-x. Pero es un hecho conocido que AM=MC(pues M es el circuncentro). Entonces, <MAC=45-z=<MCA=45-x y entonces x=z.
Hint:
ResponderBorrar1)usar el Teorema de Ptolomeo
2)ver angulitos