1)Demostrar que para todo n entero positivo, el número 3^n -2n^2 -1 es múltiplo de 8. Probar además que, si 3 no divide a n, entonces 3^n -2n^2 -1 es múltiplo de 24.
2) Si elegimos n + 1 números entre 1 y 2n es siempre posible encontrar dos de ellos tales que uno divide al otro.
para el segundo
ResponderBorrarcualquier numero desde 1 hasta N tiene al menos un múltiplo en el conjunto de números que va de n+1 hasta 2n ya que ningún numero rebasa su doble (en caso de que su doble sea menor a N podemos multiplicarlo por un numero k de forma que encontremos un múltiplo porque nunca rebasa la congruencia n)
y como escogemos a n+1 números por casillas tenemos que al menos un numero desde 1 hasta n divide a otro del conjunto n+1 hasta 2n
segun yo tu argumento no esta completo, supón que los numeros que te tomas son 2,3, ...n,p y q, donde p y q, son dos números primos, entonces aunque los números, 2,3,4, ... n dividan a números entre n y 2n, ninguno de esos ni divide a p ni a q y como que falla tu argumento.
ResponderBorrarSi me explico en por que falla? (si es que estoy entendiendo bn)
Bueno pues el 1:
ResponderBorrarVemos primero que si n es par, 3^n es congruente a 1 (mod8) y si es impar, es congruente a 3 (esto es fácil de ver, sólo vez que al multiplicar por 3, se hace un ciclo)
Entonces, primero veamos el caso de n par.
3^n -2n^2 -1 es congruente a 1-0-1 (mod 8) lo de en medio es 0,porque al ser n par, n^2 es múltiplo de 4 y por lo tanto 2n^2 es múltiplo de 8.
Luego, veamos el caso de n impar. 3^n -2n^2 -1 es congruente a 3-2-1 (mod 8). Lo de en medio es 2 porque todo impar al cuadrado es congruente a 1(mod 8) (esto es fácil de verificar).
Entonces 8 siempre lo divide. Ahora, queremos ver que 3 lo divide siempre y cuando n no sea múltiplo de 3, y entonces 8*3=24 lo dividirá.
Esto es también fácil de ver, pues 3^n -2n^2 -1 es congruente a 0-2-1=-3 congruente a 0 (mod3). Lo de en medio es 2 porque todo n^2 tal que 3 no divide a n es congurente a 1 (mod3). Esto también es fácil de verificar.
Bien, ya se me ocurrió el 2:
ResponderBorrarEl problema implica que si hacemos n casillas tales que cualesquiera dos de una casilla se dividan, ya acabamos, ya que por casillas, hay dos de una casilla entre nuestros números.
Pero hacer estas casillas no es tan difícil. Separamos a los n impares, uno en cada casilla. Luego, en la casilla en que esta n, ponemos a 2n,4n, 8n, 16n,..., etc.
Entonces, todos los pares van a estar. Y también todos los impares. Entonces nuestros 2n números están dentro de nuestras casillas. Además es claro que cualesquiera dos números de las casillas cumplen que uno divide al otro.
Y como hay n casillas y tenemos que tomar n+1 enteros, ya acabamos.
Hints:
ResponderBorrar1) lo primero que debemos pensar es mod 8,para lo segundo también vemos mod 3
2)Suena a que hay que usar casillas, debemos hacer n cajas y en ellas distribuir los números del 1 al 2n tal que en cada caja cada par de números uno sea múltiplo de otro