el 1° por inducción, te supones que sirve para n y quieres probar que funciona para n+1, entonces obtienes la ecuación 1^2 + 2^2 + ..... + n^2 + (n+1)^2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 + (n+1)^2 => (2n^3 +9n^2 +13n + 6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 que es a lo que queríamos llegar y por lo tanto sirve para cualquier numero n
El 2: Sean los números b-2, b, b+2 (Buen truco Daniel ;D ) Entonces al elevar al cuadrado nos da (3b^2) + 8= a(1111)(sea a el dígito de las cifras iguales). Entonces nos fijamos en que 3|a(1111)-8 y entonces a(1111) es congruente a 2(mod3), pero 1111 es congruente a 1, entonces a es congruente a 2. Entonces a es 2,5,u 8. Si nos tomamos el caso de a=5, sustituyendo en la ecuación obtenemos (b^2)=1849 y entonces b=43. entonces los tres naturales que cumplen son 41,43,y 45.
Contemos de dos maneras: cuantas tripletas (x,y,z) hay tales que x>y, x>z y x,y,z son enteros positivos menores o iguales que n+1.
Primera forma x no puede ser 1, si x es 2 hay 1 opción de elegir y y z, 1 y 1 s1 x es 3 hay 4 formas 1,1 1,2 2,1 2,2 en general si x es k+1 hay k^2 formas de elegir y y z, por lo tanto en total hay 1^2 + 2^2 + ..... + n^2 tripletas
Segunda forma hay (n+1 en 3) formas de elegir 3 números distintos, de cada forma de elegirlos podemos formar 2 tripletas [si elegimos los números a<b<c podemos formar las tripletas (c,a,b) y (c,b,a)] por lo tanto hay 2(n+1 en 3) tripletas con x,y,z distintos, ademas las tripletas donde x,y,z no sean todos distintos solo se puede si y=Z y esto se puede hacer de (n+1 en 2) formas [si elegimos los números a<b formamos la pareja (b,a,a)] por lo tanto en total hay 2(n+1 en 3)+(n+1 en 2)=2(n+1)n(n-1)/6 + 3(n+1)n/6= [(n+1)n/6][2(n-1)+3]=(n+1)n(2n+1)/6 tripletas.
Pues la verdad una ves nos pusieron el problema de las tripletas y alguien lo hizo de forma que le sumaban los cuadrados y yo de la otra forma y dijimos a que bonita identidad
el 1°
ResponderBorrarpor inducción, te supones que sirve para n y quieres probar que funciona para n+1, entonces obtienes la ecuación 1^2 + 2^2 + ..... + n^2 + (n+1)^2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 + (n+1)^2 => (2n^3 +9n^2 +13n + 6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 que es a lo que queríamos llegar y por lo tanto sirve para cualquier numero n
muy bien
ResponderBorrarEl 1 es una inducción sencilla. Le sumas (n+1)^2 a [n(n + 1)(2n + 1)]/6 y ya te sale.
ResponderBorrarok, bn
BorrarEl 2:
ResponderBorrarSean los números b-2, b, b+2 (Buen truco Daniel ;D )
Entonces al elevar al cuadrado nos da (3b^2) + 8= a(1111)(sea a el dígito de las cifras iguales).
Entonces nos fijamos en que 3|a(1111)-8 y entonces a(1111) es congruente a 2(mod3), pero 1111 es congruente a 1, entonces a es congruente a 2.
Entonces a es 2,5,u 8. Si nos tomamos el caso de a=5, sustituyendo en la ecuación obtenemos (b^2)=1849 y entonces b=43. entonces los tres naturales que cumplen son 41,43,y 45.
Bn, espero que hayas checado que con a=2 o a=5 no funciona
BorrarHints:
ResponderBorrar1. Usar inducción (o contar de dos maneras)
2. supongan que los números son d-2, d y d+2
y usen módulos(como 3,4 o 5) para descartar opciones
Solución interesante del 1
ResponderBorrarContemos de dos maneras: cuantas tripletas (x,y,z) hay tales que x>y, x>z y x,y,z son enteros positivos menores o iguales que n+1.
Primera forma
x no puede ser 1,
si x es 2 hay 1 opción de elegir y y z, 1 y 1
s1 x es 3 hay 4 formas 1,1 1,2 2,1 2,2
en general si x es k+1 hay k^2 formas de elegir y y z, por lo tanto en total hay
1^2 + 2^2 + ..... + n^2 tripletas
Segunda forma
hay (n+1 en 3) formas de elegir 3 números distintos, de cada forma de elegirlos podemos formar 2 tripletas [si elegimos los números a<b<c podemos formar las tripletas (c,a,b) y (c,b,a)] por lo tanto hay 2(n+1 en 3) tripletas con x,y,z distintos, ademas las tripletas donde x,y,z no sean todos distintos solo se puede si y=Z y esto se puede hacer de (n+1 en 2) formas [si elegimos los números a<b formamos la pareja (b,a,a)] por lo tanto en total hay
2(n+1 en 3)+(n+1 en 2)=2(n+1)n(n-1)/6 + 3(n+1)n/6= [(n+1)n/6][2(n-1)+3]=(n+1)n(2n+1)/6 tripletas.
Concluimos que:
1^2 + 2^2 + ..... + n^2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/6
No mames y cómo se te ocurre eso? Nunca he entendido como a la gente le salen los problemas difíciles utilizando doble conteo...
BorrarPues la verdad una ves nos pusieron el problema de las tripletas y alguien lo hizo de forma que le sumaban los cuadrados y yo de la otra forma y dijimos a que bonita identidad
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