Probema 30 de Marzo

1) Prueba que en la suesión 11,111,1111,11111,......    no hay númers cuadrados

2) se comienza con un entero n. En cada paso se obtiene un nuevo número sumándole al anterior su digito más grande. ¿Cual es la mayor cantidad de números impares seguidos que se pueden obtener asi?

Problema 29 de Marzo

a) Muestra que si a,b,c,d son enteros tales que ab=cd, entonces existen enteros k,l,m,n tales que a=kl,b=mn, c=km y d=ln

b)Muestra que si a,b,c,d son enteros tales que ab=cd entonces a+b+c+d no es primo

Problema 28 de Marzo

Diego y Victor juegan por turnos a quitar de 1 a 7 piedras de un monton de 2012. Gana quien quite la ultima piedra. ¿Si Diego empieza quien tiene estrategia ganadora? ¿Y si pueden quitar de 1 a 5 piedras?

Problema 27 de Marzo

1) si a,b son reles positivos y a+b=1. Demuestra que
(a^2)/(a + 1) + (b^2)/(b + 1) > (o igual a) 1/3


2) si x,y son reales Demuestra que
3(x + y + 1)^2 + 1 > (o igual a) 3xy

Problema 26 de marzo

Sea ABCD un cuadrilatero convexo con angABC + angBCD < 180. La intersección de AB y CD es E. Prueba que angABC = angADC si y solo si AC^2= CD*CE -AB*AE.

Problema 23 de Marzo

25 hombres y 25 mujeres se sientan alrededor de una mesa, muestra que hay al menos una persona que esta entre 2 mujeres.

Problema 22 de Marzo

De 3n + 1 objetos, n son iguales entre sí y los restantes son distintos entre sí y distintos a los primeros. Prueba que las maneras de escoger n objetos de entre todos son 4^n.

Problema 21 de Marzo

1)Prueba que a^3 +b^3 +4 no es un cubo perfecto para ningún par de números a y b

2)Prueba que el número 70 . .(2012 ceros). . 00200 . .(2012 ceros) . . 07 no es un cubo perfecto.

Problema 20 de Marzo

1)Si p, 4p^2 + 1 y 6p^2 + 1 son primos ¿Que valores puede tener p ?

2)Prueba que la suma de los cuadrados de cinco números naturales consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 19 de Marzo

1)El triángulo ABC es equilátero y en el arco BC de su circuncírculo se toma un punto arbitrario M. Demostrar que AM = BM + CM.

2) Demostrar que la bisectríz del ángulo recto de un triángulo rectángulo divide por la mitad el ángulo entre la mediana y la altura bajadas sobre la hipotenusa.

Problema 16 de Marzo

Sean a, b, c números reales positivos tales que a^2 + b^2 + c^2 = 12. Muestra que
sqrt(1 + a^3) + sqrt(1 + b^3) + sqrt(1 + c^3) =< 9
nota: sqrt es Raiz cuadrada.

Problema 15 de marzo

Demuestra que de entre 10 enteros positivos consecutivos existe uno que es primo relativo con el producto de los 9 restantes.

Problema 14 de marzo

Demuestra que (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) es divisible entre 12.

Problema 13 de Marzo

Sobre los lados AB y AC de un triángulo acutángulo ABC se construyen los semicírculos exteriores al triángulo que tienen a estos dos segmentos como diámetros. Las alturas correspondientes a B y a C en el triángulo ABC cortan a estos semicírculos en los puntos P y Q, respectivamente. Prueba que AP = AQ.

Problema 12 de Marzo

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los 2 vértices que forman la arista. Sean A la suma de los números escritos en las aristas y V la suma de los números escritos en los vértices.

(a) Muestra que 2A/3 ≤ V

(b) ¿Es posible que A = V ?

Problema 9 de Marzo

Sea ABC un triángulo acutángulo escaleno cuyo ortocentro es H. M es el punto medio del segmento BC. N es el punto donde se intersecan el segmento AM y la circunferencia determinada por B, C y H. Demuestre que las rectas HN y AM son perpendiculares.

Problema 8 de Marzo

1) Demuestra que 121 no divide a n^2 + 3n + 5.

2) Demuestra que si un triángulo rectángulo tiene lados enteros a, b y c, entonces 30|abc.

Problema 7 de Marzo

¿Cuál es el mayor número de casillas que se pueden elegir en un tablero de 4×4 de modo que no haya tres cuyos centros formen un triángulo isósceles?

Problema 6 de Marzo

1)Demostrar que para todo n entero positivo, el número 3^n -2n^2 -1 es múltiplo de 8. Probar además que, si 3 no divide a n, entonces 3^n -2n^2 -1 es múltiplo de 24.

2) Si elegimos n + 1 números entre 1 y 2n es siempre posible encontrar dos de ellos tales que uno divide al otro.

Problema 5 de Marzo

1) Demostrar, que para cualquier n, 1^2 + 2^2 + ..... + n^2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/6

2) Hallar tres números naturales en progresión aritmética de diferencia 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales.