Problema del día 16 de agosto
Sea ABC un triángulo escaleno, D en el lado AC de tal forma que BD sea la bisectriz del angulo ABC. Sean E y F, respectivamente, los pies de las perpendiculares desde A y C a la línea BD y sea M el punto en BC tal que DM sea perpendicular a BC. Demuestra que angEMD=angDMF
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bc/ba = cd/ad= df/de y dm es bisectriz del angulo emf si solo si mf/me= df/de, pero eso pasa si solo si ang bac=90
ResponderBorrarÓsea estas diciendo que esta mal el problema??? Y porque dices que eso pasa si y solo si es 90?? El problema esta bien!!
ResponderBorrarpues ya em salio, me da floejra escribirlos y ya es tarde. pero solo hay que fijarse en bm/bd=be/ba por semejanza de los triangulos ye sto nos dice que bm/be=bd/ba y por semejanza LAL: ABD es semejante a EBM y ya con eso te fijas en los angulos y ya, por ahi hay un ciclico q te ayuda a transportar un angulo.
ResponderBorrarBien!!! Esta fácil así! El cíclico al que te refieres es DMFC. A mi se me había ocurrido considerar la intersección de DM y AE que también funciona.
ResponderBorrarEste problema es un 4 de Ibero.
Veamos... mi solución: $XYZ significa águlo XYZ
ResponderBorrarLlamemos al ángulo en B 2x, entonces la bisectriz lo divide en x y x
Luego, nos fijamos en el triángulo ABM. Es isósceles debido a que la bisectriz también es altura, por lo que el $BAM=$BMA=90-x
Luego, como $BMA=90-x y $BMD=90=$BMA+$AMD, entonces $AMD=x
Luego, por el triángulo EDM, $EDM=90-x
y por suplementarios, $MDB=90+x
Nos fijamos en el cíclico DMCF que es cíclico debido a que $DFC+$CMD=180.
Llamemos a $FDB=$FMC=y
Por complementarios, $DMF=90-y
Ya había dicho que $MDF=90+x=$FDC+$CDM y como $FDC=y, entonces $CDM=90+x-y
Luego, llamemos al punto de intersección de las diagonales de DMCF K
Veamos el tríangulo DMK. Sabemos que por suplementarios, $DKM=2y-x.
Ahora nos fijamos en AKM. De nuevo por suplementarios, $MAK=90-y
Veamos que en el tríangulo ADM, E es pie de altura y también punto medio, por lo que ADM es isósceles y 90-y=x
Por lo tanto, $AMD=x=$DMF=90-y esto es lo que queríamos probar.