Nadie lo resolvio completamente, el puntaje mas alto fue 3 puntos de Adrian Rivera.
Los demas tienen 1 y 0, con excepcion de Omar que tiene 2 puntos.
Solucion:
Sean a_1, a_2, ..., a_2n los 2n numeros positivos diferentes, menores o iguales que n^2, los cuales podemos ordenar de la siguiente manera
a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_2n
Lo mas natural es buscar las tres diferencias entre numeros consecutivos de la sucesion.
Supongamos que no hay tres diferencias iguales, entonces
A=(a_2 - a_1) + (a_3- a_2) + (a_4 - a_3) + ... + (a_2n - a_{2n-1})
es mayor o igual que
1+1 + 2+2 +3 +3 + ....+ n-1+ n-1 + n = n(n-1) + n = n^2
pero A=a_2n -a_1 que es menor o igual que que n^2-1
de donde n^2-1 es mayor o igual que n^2, lo cual es una contradiccion.
En el problema 1 todos lo tienen bien excepto Eduardo Melendez que tiene 3
y Jose Andres tiene 6.
Falta de calificar el problema de geometria
Ultimo problema de invarianza
El problema se puede reescribir como sigue:
La sexteta $(x_1, x_2, x_3, ... , x_6)$ se transforma en la sexteta
$(x_2, x_3, ...., x_6, x_7)$, donde $x_7$ es el ultimo digito de la suma de
$x_1+ x_2 + --- + x_6$. Determina si es posible obtener 0, 1, 0, 1, 0 ,1 de
1, 0, 1, 0, 1, 0.
Hint: Consideren $s(x_1, x_2, ... , x_6)$ igual al ultimo digito del numero
$2x_1 + 4x_2+ 6x_3+ 8x_4 + 10x_5+ 12x_6$
Problema 4 de numeros unidad
Hagamos la construccion por induccion. Supongamos que hemos construido
$a_1 =1$, $a_2$, ... $a_n$ numeros unidad primos relativos entre ellos.
Por el problema 3 de numeros unidad, existe un numero unidad $m$ el cual es
divisible entre el producto de los $a_i$.
Consideremos entonces el numero $10m+1$, el cual es un numero unidad, y como
$(m,10m+1)=1$, entonces, $(a_i, 10m+1)=1$, por lo que podemos tomar
$a_{n+1} = 10m+1$.
Problema 3 de numeros unidad
Sea $n$ que termina en 1, 3, 7 o 9. Note que entonces, n es primo relativo con 10 y de hecho con cualquier potencia de 10.
Considere las sucesion de n+1 numeros unidad:
1, 11, 111, 1111, .... , 11111...11
donde el ultimo numero unidad tiene n+1 digitos.
Como son n+1 numeros, por el principio de las casillas, hay dos cuya diferencia es divisible entre n. Pero la diferencia de dos numeros unidad es el producto de un numero unidad por una potencia de 10. Pero como n no divide a ninguna potencia de 10, debe dividir al numero unidad.
Problema 4 de ordenar
Supongamos que el problema no es cierto.
Sea $A=\{ x_1, x_2, ..., x_{25} \}$ la coleccion de 25 numeros. Ordenemolos de menor a mayor
$0< x_1 < x_2 < ... < x_{25} $.
Es claro que $x_{25} + x_k > x_{25}$ por lo cual no puede estar en el conjunto A para ninguna k, entonces debemos tener que la diferencia $x_{25} - x_k$ debe estar en A. Luego
$x_{25} - x_1 = x_{24}$
$x_{25} - x_2= x_{23}$
.
.
.
$x_{25} - x_{12} = x_{13}$
Ahora para $k > 1$, tenemos que $x_{24} + x_k> x_25$, luego
la diferencia $x_{24} - x_k$ debe estar en A.
Ademas, $x_{24} - x_2 < x_{23}$ ya que $x_2+x_{23}=x_{25} > x_{24}$
Por lo tanto
$x_{24} - x_2 \leq x_{22}$
$x_{24} - x_3 \leq x_{21}$
.
.
.
$x_{24} - x_{12} \leq x_{11}$ \leq significa menor o igual que
.
.
.
$x_{24} - x_{22} \leq x_1
(Note que en la lista anterior podemos decir que $x_{24} - x_{12}$ es diferente de $x_{12}$ pues de lo contrario la suma y la diferencia de $x_{24}$ y $x_{12}$ no estaria entre los 23 numeros restantes.)
Ahora como $x_{24} + x_{23}$ no esta en A, y por la ultima desigualdad tenemos que
$x_{24} - $x_{23} < x_1$, por lo que tampoco estaria en el conjunto A, lo cual es una contradiccion.
Problema 12 del viernes 19 de agosto
Problema 12
A una fiesta asistieron 10 personas. Se sabe que entre cualesquiera tres de ellas, hay al
menos dos que no se conocen. Muestra que en la fiesta hay un grupo de cuatro personas que no se conocen entre si.
Solucion:
Representemos a cada persona i con un vertice $v_i$ y uniremos dos vertices con aristas
rojas o verdes dependiendo si las dos personas correspondientes se conocen o no. Si $v_1$ tiene
al menos 6 aristas verdes de las 9 aristas que salen de $v_1$, tomamos los vertices que estan unidos a $v_1$ por estas aristas verdes, digamos $v_2$, $v_3$, $\dots$, $v_7$. Ahora si
$v_2$ tiene al menos $3$ aristas verdes de las 5 aristas que lo unen con $v_3$, $\dots$, $v_7$, entonces tomamos esos vertices, digamos $v_3$, $v_4$, $v_5$. Entre estos tres vertices hay al menos dos unidos por una arista verde digamos $v_3$ y $v_4$. Entonces $v_1$, $v_2$, $v_3$,
$v_4$ estan unidos unicamente por aristas verdes y terminamos.
Si $v_2$ no tiene al menos 3 aristas verdes, entonces tiene al menos 3 aristas rojas. Tomamos los 3 vertices de esas aristas rojas, digamos que son $v_3$, $v_4$, $v_5$. Entonces entre estos 3 vertices no hay 2 que esten unidos por una arista roja. Luego, $v_1$, $v_3$, $v_4$, $v_5$ estan unidos unicamente por aristas verdes y terminamos.
Finalmente si $v_1$ no tiene al menos 6 aristas verdes, tiene al menos 4 aristas rojas y tomando los vertices de esas aristas rojas, digamos, $v_2$, $v_3$, $v_4$, $v_5$, entonces entre estos vertices no hay 2 que este unidos por una arista roja y por lo tanto, estan unidos unicamente por aristas verdes y nuevamente terminamos.
Problema 11 del viernes
Demostrar que hay tres pelotas de tres colores distintos en dos cajas distintas.
Problema 10 del viernes
Por las hipotesis del problema podemos considerar los lados del poligono sobre las lineas de una
cuadricula infinita. Ahora pinten las cuadricula como tablero de ajedrez con casillas de lado 1. Demuestren que si un poligono ortogonal de n lados tiene todos sus lados de longitud impar, entonces no es posible que tenga el mismo numero de casillas blancas y de casillas negras.
cuadricula infinita. Ahora pinten las cuadricula como tablero de ajedrez con casillas de lado 1. Demuestren que si un poligono ortogonal de n lados tiene todos sus lados de longitud impar, entonces no es posible que tenga el mismo numero de casillas blancas y de casillas negras.
Hints para los problemas pendientes del viernes
Cada dia les voy a dar un hint de los problemas del viernes, esperando que escriban en el blog su solucion.
Problema 7. Por casillas se puede ver que hay 13 puntos del mismo color. Ahora cuenten el numero de triangulos que se pueden formar con 13 puntos, el numero de segmento posibles que se pueden trazar con 13 puntos y el numero de triangulos isosceles que pueden formar dejando fijo un segmento de los anteriores y con el otro vertice dentro de los 13 puntos.
Problemas de inicio entrenamiento sábado
1.- Sean x,y,z naturales con x menor a y menor a z menor a p, donde p es un primo. Demuestra que si x^3 , y^3 , z^3 dejan el mismo residuo al dividirse entre p, entonces x+y+z divide a x^2+y^2+z^2.
2.-Encuentra todas las parejas de naturales (a,b) tales que 2a-1 y2b+1 sean coprimos y a+b divide a 4ab+1.
3.-Encuentra todas las parejas de enteros (x,y) tales que
1+2^x+2^(2x+1)=y^2
Estos van a ser los primeros problemas para el entrenamiento de mañana ponganse a intentarlos al llegar, aunque yo no haya llegado!
2.-Encuentra todas las parejas de naturales (a,b) tales que 2a-1 y2b+1 sean coprimos y a+b divide a 4ab+1.
3.-Encuentra todas las parejas de enteros (x,y) tales que
1+2^x+2^(2x+1)=y^2
Estos van a ser los primeros problemas para el entrenamiento de mañana ponganse a intentarlos al llegar, aunque yo no haya llegado!
Resultados de examen
Con respecto al examen del sabado, Larissa revisara los dos problemas de geometria y yo los otros dos. Estoy un poco sorprendido con los resultados, pues creo que nadie tiene completo el 2
y creo que Anthony es el unico que tiene completo el 3.
y creo que Anthony es el unico que tiene completo el 3.
Entrenamientos
Hola Georges y Daniel
Van a poder seguir entrenando? yo entrenare todos los viernes hasta el nacional, pero ustedes me pueden ayudar algunos sabados, por ejemplo este que viene, quien puede?
Problema del día 16 de agosto
Sea ABC un triángulo escaleno, D en el lado AC de tal forma que BD sea la bisectriz del angulo ABC. Sean E y F, respectivamente, los pies de las perpendiculares desde A y C a la línea BD y sea M el punto en BC tal que DM sea perpendicular a BC. Demuestra que angEMD=angDMF
Problema del día 15 de agosto
Sean a y b dos enteros positivos con a>b. Sabemos que mcd(a-b,ab+1)=1 y mcd(a+b,ab-1)=1.
Demuestra que (a-b)^2+(ab+1)^2 no es un cuadrado perfecto.
mcd(x,y) es el maximo comun divisor de x y y.
x^2 es equis al cuadrado
Demuestra que (a-b)^2+(ab+1)^2 no es un cuadrado perfecto.
mcd(x,y) es el maximo comun divisor de x y y.
x^2 es equis al cuadrado
Problema del día 11 de agosto
En encuentra el menor natural n tal que lo siguiente se cumple.
No importa como colorees de rojo y azul los elementos del conjunto (1,2,...,n) siempre existen enteros x,y,z,w en el conjunto (no necesariamente distintos) del mismo color tales que x+y+z=w
No importa como colorees de rojo y azul los elementos del conjunto (1,2,...,n) siempre existen enteros x,y,z,w en el conjunto (no necesariamente distintos) del mismo color tales que x+y+z=w
Problema del día 10 de agosto
Encuentra todos los enteros x,y,z tales que
x^2 + y^2 + z^2=2(yz+1) y también. x+y+z=4018.
x^2 + y^2 + z^2=2(yz+1) y también. x+y+z=4018.
Regreso de problemas
Ya regrese de la imo, entonces voy a empezar a poner problemas de nuevo.
1.-Se tiene un tablero de 2xn. De cuantas formas se pueden escribir los números del 1-2n en las casillas del tablero (cada numero exactamente una vez, y en cada casilla un numero) de tal forma que si dos números son consecutivos entonces se encuentran en casillas que comparten un lado.
1.-Se tiene un tablero de 2xn. De cuantas formas se pueden escribir los números del 1-2n en las casillas del tablero (cada numero exactamente una vez, y en cada casilla un numero) de tal forma que si dos números son consecutivos entonces se encuentran en casillas que comparten un lado.
Los correos para Rogelio.
Aquí pongan sus mails. Yo pondre el mio y el de Anthony, ya que el no puede comentar en el blog.
Diego Terán Ríos - diego_teran_rios@hotmail.com
Anthony Ortiz - tony_fol@hotmail.com
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