Todavia no hago el segundo pero del primero, tenemos que si n mayor o igual que 7, 7 divide a n! y n!+5 sería congruente con 5 módulo 7 y por lo tanto, n!+5 no podría ser un cubo perfecto ya que sabemos que x^3 es congruente con 1,-1,0 módulo 7. Ahora nos quedan 6 casitos por checar: para n=1, n!+5=6 que no es cubo perfecto n=2, n!+5=7 tampoco es un cubo perfecto n=3 n!+5=6+5=11 no es cubo perfecto n=4 n!+5=24+5=29 no es cubo perfecto n=5 n!+5=120+5=125=5^3 n=6 n!+5=720+5=725=5(145)=5^2(29) no es cubo el unico valor que puede tomar n para que n!+5 sea un cuadrado perfecto es n=5.
sea x un entero positivo, entonces supongamos que si es cierto, entonces n!+5=x^3, pero x^3≡0,1,6(mod7), y si n≥7 =>n!≡0(mod7) y n!+5≡5(mod7), y como x^3 jamas sera congruente con 5(mod7) entonces solo nos quedan los casos para n<7, y vemos que solo n=5 cumple: 120+5=125=5^3
Bien! La idea mas importante es fijarse que los cubos mod 7 solo son congruentes con 1,-1,0. Así que si ven un problema de teoría de números que involucre cubos, intenten mod 7, no siempre sirve pero puede ayudar. Ahora hagan el segundo.
pues para empezar hize los casos y encontre que n=5 satisface la ecuacion. depues trate de hacer despejes raros como el de maria hace en el problema anterior pero no funciono. Use al ultimo modulos y el modulo 7 nos de que si n es mayor o igual a 7, n! sera congruente son 0 mod 7, asi que n!+5 es congruente 5 mod 7 pero un cubo es congruente con 0, 1 o 6 mod 7, asi que no podria ser. despues haces los casos para n menor a 7 y ves que solo puede ser 5
Veamos que si (36a +b)(a +36b) es un potencia de 2, entonces ambos factores son por si mismos potencias de 2, pues si alguno tuviera en su representacion canonica algun primo distinto a 2, el prodcuto ya no cumpliria la condicion. Ademas claramente (36a +b) y (a +36b) son ambos distintos de 1, asi que son de la forma 2*i, con i un entero positivo. Entonces podemos representar las siguientes ecuaciones: (36a +b) = 2*m (I) (a +36b) = 2*k (II)
Despejando b en II y sustituyendo en I tenemos que:
Ahora veamos que la menor(alguna es mayor que otra, ya que si las dos son iguales, implicaria que a es igual a b, y por lo tanto tendriamos que 37a = 2*k, lo cual es absurdo, pues el 37 no es factor de ninguna potencia de 2) entre 2*k y 2*(m+2) dvide a "a",( esto es facil ver, pues podemos factorizar y ver que divide a a(35)(37), pero ya que (35)(37) es impar, divide a "a")asi que si 2*k es la menor, a seria de la forma 2*k(x),con x un etero positivo, pero esto es una contradiccion, pues si sustituimos en II, tendriamos que a es mayor que la suma de (a + 36b), entonces la menor es 2*(m+2), asi que a es de la forma 2*(m+2)(x), pero sustituyendo en I, llegariamos a una contradiccion analoga a la del caso anterior, estas contradicciones muestran que (a +36b) y (36a +b) no pueden ser ambas potencias de 2, y por lo tanto (a +36b)(36a +b) tampoco lo es, lo que se queria demostrar.
Veamos que los cubos son congruentes a 0, 1 o -1 modulo 7, y ya que n! + 5 es congruente a 5 modulo 7 para toda n mayor o igual a 7, entonces ninguna n mayor o igual a 7 podra cumplir lo pedido, haciendo los casos con n menor a 7 es facil ver que 5! +5 = 125 = 5*3, asi que n = 5 es la unica n que cumple lo pedido.
Todavia no hago el segundo pero del primero, tenemos que si n mayor o igual que 7, 7 divide a n! y n!+5 sería congruente con 5 módulo 7 y por lo tanto, n!+5 no podría ser un cubo perfecto ya que sabemos que x^3 es congruente con 1,-1,0 módulo 7. Ahora nos quedan 6 casitos por checar:
ResponderBorrarpara n=1, n!+5=6 que no es cubo perfecto
n=2, n!+5=7 tampoco es un cubo perfecto
n=3 n!+5=6+5=11 no es cubo perfecto
n=4 n!+5=24+5=29 no es cubo perfecto
n=5 n!+5=120+5=125=5^3
n=6 n!+5=720+5=725=5(145)=5^2(29) no es cubo
el unico valor que puede tomar n para que n!+5 sea un cuadrado perfecto es n=5.
bueno pues yo lo hice usando (mod7)
ResponderBorrarsea x un entero positivo, entonces supongamos que si es cierto, entonces n!+5=x^3, pero x^3≡0,1,6(mod7), y si n≥7 =>n!≡0(mod7) y n!+5≡5(mod7), y como x^3 jamas sera congruente con 5(mod7) entonces solo nos quedan los casos para n<7, y vemos que solo n=5 cumple: 120+5=125=5^3
Bien! La idea mas importante es fijarse que los cubos mod 7 solo son congruentes con 1,-1,0. Así que si ven un problema de teoría de números que involucre cubos, intenten mod 7, no siempre sirve pero puede ayudar.
ResponderBorrarAhora hagan el segundo.
pues para empezar hize los casos y encontre que n=5 satisface la ecuacion. depues trate de hacer despejes raros como el de maria hace en el problema anterior pero no funciono. Use al ultimo modulos y el modulo 7 nos de que si n es mayor o igual a 7, n! sera congruente son 0 mod 7, asi que n!+5 es congruente 5 mod 7 pero un cubo es congruente con 0, 1 o 6 mod 7, asi que no podria ser. despues haces los casos para n menor a 7 y ves que solo puede ser 5
ResponderBorrarVeamos que si (36a +b)(a +36b) es un potencia de 2, entonces ambos factores son por si mismos potencias de 2, pues si alguno tuviera en su representacion canonica algun primo distinto a 2, el prodcuto ya no cumpliria la condicion. Ademas claramente (36a +b) y (a +36b) son ambos distintos de 1, asi que son de la forma 2*i, con i un entero positivo.
ResponderBorrarEntonces podemos representar las siguientes ecuaciones:
(36a +b) = 2*m (I)
(a +36b) = 2*k (II)
Despejando b en II y sustituyendo en I tenemos que:
36a + (2*k -a)/36 = 2*m
Multiplicando por 36 la ecuacion tenemos:
a(36*2) +2*k -a = (36)(2*m)
a(36*2 -1) +2*k = (36)(2*m)
a(35)(37) + 2*k = (9)(2*(m+2))
Ahora veamos que la menor(alguna es mayor que otra, ya que si las dos son iguales, implicaria que a es igual a b, y por lo tanto tendriamos que 37a = 2*k, lo cual es absurdo, pues el 37 no es factor de ninguna potencia de 2) entre 2*k y 2*(m+2) dvide a "a",( esto es facil ver, pues podemos factorizar y ver que divide a a(35)(37), pero ya que (35)(37) es impar, divide a "a")asi que si 2*k es la menor, a seria de la forma 2*k(x),con x un etero positivo, pero esto es una contradiccion, pues si sustituimos en II, tendriamos que a es mayor que la suma de (a + 36b), entonces la menor es 2*(m+2), asi que a es de la forma 2*(m+2)(x), pero sustituyendo en I, llegariamos a una contradiccion analoga a la del caso anterior, estas contradicciones muestran que (a +36b) y (36a +b) no pueden ser ambas potencias de 2, y por lo tanto (a +36b)(36a +b) tampoco lo es, lo que se queria demostrar.
Si es que esta bien la solucion, dudo que sea la oficial, asi que espero la aprobacion de georges, cualquier duda o correccion la escriben por favor.
ResponderBorrarVeamos que los cubos son congruentes a 0, 1 o -1 modulo 7, y ya que n! + 5 es congruente a 5 modulo 7 para toda n mayor o igual a 7, entonces ninguna n mayor o igual a 7 podra cumplir lo pedido, haciendo los casos con n menor a 7 es facil ver que 5! +5 = 125 = 5*3, asi que n = 5 es la unica n que cumple lo pedido.
ResponderBorrarBien Raul!
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