Una semana para el regional, y menos de dos meses para el nacional. Echenle ganas!!
Sea ABC un triangulo acutangulo, y M un punto sobre el segmento BC.
Sea P la intersección de la perpendicular a BC que pasa por B con la perpendicular a AB que pasa por M, y Q la intersección de la perpendicular a BC que pasa por C con la perpendicular a AC que pasa por M.
Demuestra que PQ es perpendicular a AM si y solo si M es el punto medio de BC.
sean R,S las intersecciones de PM y AB, QM y AC respectivamente
ResponderBorrarnos fijamos que AM es perpendicular a PQ <=> anguloMAC=anguloMQP y anguloMAB=anguloMPQ, pero anguloMAC=anguloMRS y anguloMAB=anguloMSR por ser ARMS ciclico, entonces AM es perpendicular a PQ <=> anguloMPQ=anguloMSR y anguloMQP=anguloMRS <=> triangulo MPQ~triangulo MSR <=> MP/MS=MQ/MR (por compartir anguloPMQ)<=> (MP)(MR)=(MQ)(MS), pero (MP)(MR)=MB^2 y (MQ)(MS)=MC^2 (esto es por potencia desde M en los circuncirculos de PBR y QSC respectivamente, pues el circuncentro de PBR se encuentra sobre PB por ser PBR triangulo rectangulo y como PB es perpendicular a BC entonces BC es tangente al circuncirculo de PBR, analogamente con el circuncirculo de QSC) <=>MB^2=MC^2 <=> MB=MC <=> M es punto medio de BC
Muy bien!!!! es el problema 5 del último nacional!
ResponderBorrarlo intenté un rato y no me salio, mañana intento el otro. Buena solucion Otho!
ResponderBorrarBien Diego, gracias por comentar, el blog es para todos, no solo para Ohto.
ResponderBorrarLo intente resolver hoy en la escuela pero no pude jeje lo intentare otra vez hoy y mañana y ya si no puedo, pos leere las soluciones, ya vi lo que dijiste del truco de ver... los puntos medios en el otro problema, no lei la solucion pero lo intentare con eso a ver que se me ocurre
ResponderBorrarlo intente dos dias y use todo lo que sabia pero no llege a gandes cosas! ya lei la solucion, esta padre
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