1/x+1/y+1/z=x+y+z (yz+xz+xy)/xyz=x+y+z como xyz=1, tenemos que xy+xz+yz=x+y+z xy+xz+yz-x-y-z=0, eso lo podemos factorizar de la siguiente manera:(1-x)(1-y)(1-z)=0 porque: (1-x)(1-y)(1-z)=(1-y-x+xy)(1-z)=1-y-x+xy-z+yz+xz-xyz= xy+xz+yz-x-y-z+1-xyz, como sabemos que 1=xyz,entonces xy+xz+yz-x-y-z+1-xyz=xy+xz+yz-x-y-z, y tenemos que (1-x)(1-y)(1-z)=xy+xz+yz-x-y-z=0 asi que hay tres posibilidades, (a) 1-x=0 de aqui x=1 (b) 1-y=0, y=1 (c) 1-z=0, z=1 Y no importa cual sea, de x,y o z, alguno debe ser igual a 1
La cosa es que cuando trabajamos con enteros podemos usar divisibilidad y ese tipo de cosas, pero cuando trabajamos con reales tenemos menos herramientas, pero una de las herramientas que mas funciona es ver que si ab=0 entonces a=0 o b=0. aplicando esto al problema, nos gustaría ver que (x-1)(y-1)(z-1)=0 y eso pasa si y solo si xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=0 y como xyz=1 eso es equivalente a ver que x+y+z=xy+xz+yz, pero dividiendo el lado derecho por xyz=1 obtenemos lo que nos dan al principio. En resumen, cuando trabajen con reales intenten usar el hecho de que si ab=0 entonces a=0 o b=0 y también intenten trabajar hacia atrás, ver a que quieren llegar, y luego ver por que eso es cierto.
1/x+1/y+1/z=x+y+z
ResponderBorrar(yz+xz+xy)/xyz=x+y+z
como xyz=1, tenemos que
xy+xz+yz=x+y+z
xy+xz+yz-x-y-z=0, eso lo podemos factorizar de la siguiente manera:(1-x)(1-y)(1-z)=0
porque:
(1-x)(1-y)(1-z)=(1-y-x+xy)(1-z)=1-y-x+xy-z+yz+xz-xyz= xy+xz+yz-x-y-z+1-xyz, como sabemos que 1=xyz,entonces xy+xz+yz-x-y-z+1-xyz=xy+xz+yz-x-y-z, y tenemos que (1-x)(1-y)(1-z)=xy+xz+yz-x-y-z=0 asi que hay tres posibilidades,
(a) 1-x=0 de aqui x=1
(b) 1-y=0, y=1
(c) 1-z=0, z=1
Y no importa cual sea, de x,y o z, alguno debe ser igual a 1
Bien!
ResponderBorrarno me salio, no pude encontrar la factorizacion
ResponderBorrarpues ami tampoco me salio, solo hice como mil despejes y cosas asi pero no llegue a nada
ResponderBorrarLa cosa es que cuando trabajamos con enteros podemos usar divisibilidad y ese tipo de cosas, pero cuando trabajamos con reales tenemos menos herramientas, pero una de las herramientas que mas funciona es ver que si ab=0 entonces a=0 o b=0. aplicando esto al problema, nos gustaría ver que (x-1)(y-1)(z-1)=0 y eso pasa si y solo si xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=0 y como xyz=1 eso es equivalente a ver que x+y+z=xy+xz+yz, pero dividiendo el lado derecho por xyz=1 obtenemos lo que nos dan al principio.
ResponderBorrarEn resumen, cuando trabajen con reales intenten usar el hecho de que si ab=0 entonces a=0 o b=0 y también intenten trabajar hacia atrás, ver a que quieren llegar, y luego ver por que eso es cierto.