Un problema similar a uno que aparecio el año pasado en el regional.
Sea $S=\{1, 2, ..., n\}$ y sea $\{A_i\}$ el conjunto de subconjuntos de $S$ que contienen elementos no consecutivos de $S$ . Si $D(A_i)$ es el producto de los elementos de $A_i$ (con $D(\emptyset) =1$), muestren que
$$\sum_i D(A_i)^2 =(n+1)!$$
Rogelio, hace falta ponerle latex al blog, no se si tu sabes como hacerle.
ResponderBorrarSi alguien no le entiende, pegue el problema en una entrada vieja del blog de la imo, que si tiene latex, para ver el problema sigan este link.
http://a-la-imo.blogspot.com/2010/09/problema-del-dia-14-de-septimbre-se.html?showComment=1285882048069_AIe9_BGF_iyrNzzBza88uZWVI7knnIoWTFOI6bCqG9SRiaAwsPEa0hJPwB66GHmdYPdMzM35YsuX8ueyq2EFAyerfogMju5G1hn5hV3puzTPMZQ2l-TqfXhIqqUeDjJaz_0_3F_aKyA86RVNWIUicNyn2QQYp_kx26Ajvg3GPNFbfSeg8BAbBBNmQBzQoGezWp8lekzZ4C6MHiQ_Ibih16-HMmz5qMsvXqveANTYw_10FBXydSImT1PZHGqLG3oV9AQLDdMe2SXcsiWVeDj7cReu7FDP3MT77we9sDtlufwe8WZPbMoN_DetLu0ZsLA1Zlqox9BV4mb1KEdutZL6_T7MHzU3NInuXIgf1BBUJ7bwOiPtSYWGmIeQNuYaHUzzMW_dPHLCHO4hmxfdpfytZHjebd1Q1t03U3TxCw9mUUe8CuOZgvDj-KITcg-qbQnoKJHIJ9FwzFcrTIs_WA_SU0MFXUSdiYca6EVgu_EsU4i8no_O7BcbcusndM2--S7NXLrfqekKA3mvG1g5ULJNPxs0vMMFHq5UF-C2oXIy8-2fJaWw-Yu3_4z7D6HMKtFhUREZV7SeYXAAd3e61FyuPFbrvPLR_k32fv_Cb4Tm7DfrI0UaiinxCbE#c7331475855133642938
no se como se le hace
ResponderBorrarLo probare por inducción.
ResponderBorrarEs claro que si n=1 y n=2 si cumple.
Ahora supongamos que para k-1 y k es cierto y probaremos que para k+1 es cierto.
Para hacer esto fijemonos que los subconjuntos de (1,2...,k+1) los podemos dividir en los que contienen a k+1 y los que no lo contienen.
Los que no lo contienen claramente son los subconjuntos de (1,2,...,k) que ya sabemos que la suma de los cuadrados de la multiplicación de los productos en cada subconjunto da (k+1)! por la inducción.
Los que contienen a k+1 claramente son los subconjuntos de (1,2,...,k-1) y agregarle el k+1, por lo tanto la suma de los cuadrados de la multiplicación de los productos en cada subconjunto da (k!)((k+1)^2) por que por la inducción los de (1,2,...,k-1) daba k! pero ahora a cada termino se le agrega el (k+1)^2.
Por lo tanto la suma total va a ser (k+1!)+(k!)((k+1)^2)= (k+1!)(1+k+1)=(k+2)!
Por lo tanto la inducción queda completa y entonces para cualquier natural n se cumple que da n+1! que es lo que queriamos demostrar.