Expresare x a la n como x*n, porque no encuentro el simbolo que uso georges.
Tenemos que a*2 -3a = b*3 -2 a*2 -3a +2 = b*3 Veamos que el miembro izquierdo de la ecuacion lo podemos factorizar, asi tendriamos: (a -1)(a -2) = b*3 Entonces queremos que el producto de dos enteros consecutivos sea un cubo perfecto, pero es facil demostrar que dos enteros consecutivos son primos relativos, por lo que ambos deberian ser cubos perfectos por si mismos, pero no es posible que dos enteros consecutivos positivos sean cubos perfectos(la demostracion de esta afirmacion la pondre en el siguiente comentario). Por otra parte si consideramos enteros no positivos, es facil ver que las unicas soluciones de esta ecuacion son (a,b)= (1,0) y (2,0).
Demostracion de que dos enteros consecutivos positivos no pueden ser cubos perfectos ambos.
Supongamos que si es posible, entonces tendriamos que:
(1) a = b*3 (2) a +1 = C*3
Restando 1 en 2 tenemos que: 1 = c*3 -b*3 1 = [c -b][c*2 +cb +b*2) Pero la unica posibilidad es que ambos factores fueran 1, pero esto es claramente imposible, pues el miembro izquiero es mayor a 1 para cualesquiera enteros positivos c y b, esto termina la demostracion. Con respecto al problema, si fuera necesario se podria demostrar esto para enteros negativos, y el procedimiento seria de manera analoga
pues ami no me salio lo que hice fue: despejamos b^3 y nos queda: a^2-3a+2=b^3 y ya despues factorizamos: (a-1)(a-2)=b^3 y ya despues intente modulos y otras cosas pero no llegue a nada, de hecho creo que los modulos no funcionan ahi, pero bueno creo que probar que el producto de 2 enteros consecutivos no sea un cubo no debe ser tan dificil pero pues no se como se haga, ah tambien llegue a que 8 divide a b^3 pero creo que tampoco funciona
Al fin tengo tiempo jeje bueno pues tenemos que a^2-3a=b^3-2 a^2-3a+2=b^3 (a-2)(a-1)=b^3, sabemos que 2 números consecutivos son primos relativos ( si tenemos (b,b+1)=d, entonces tenemos que b=dx y b+1=dy, (b+1)-b= dy-dx=1 pero como d, x, y son enteros, entonces d(y-x)=1 y d=1, y-x=1 y pues y=b+1, x=b asi que son primos relativos) asi que necesitamos entonces que a-2 sea un cubo y que a-1 sea cubo también pero las únicas parejas de cubos consecutivos son: a-2=-1, a-1=0, de aqui tendríamos que (a,b)=(1,0) y a-2=0, a-1=1, en cuyo caso tendríamos que (a,b)=(2,0) En conclusión las únicas parejas (a,b) que cumplen que a^2-3a=b^3, son (1,0) y (2,0)
Yo llegué a (a-1)(a-2)=b^3, y pues sabiendo que un cubo tiene todos sus primos cubos y que (a-1)(a-2) son numeros consecutivos. Como sabemos que los numeros consecutivos solo tiene 1 como mínimo comun divisor, entonces deben de ser dos numeros consecutivos de diferencia de 1 que los dos sean cubos. Eso no existe y para probarlo queria usar esto a^3-1=b^3 ó a^3+1=b^3. No se me habia ocurrido nada con esta ecuacion, pero pss otho me dijo que de alguna manera intentara usar factorizacion. Entonces tuve que a^3-b^3=1 ó en el otro caso a^3-b^3=-1 y esto es igual que (a-b)(a^2+ab+b^2)=1(ó -1) y la unica forma es en que te puede dar esto esque los dos sean 1 o uno de ellos sea -1 y el otro 1 y la unica forma de lleagr a esto es que b(ó a) sea 0 y que a(ó b) sea -1 o 1 entonces se forman dos parejas de cubos consecutivos -1 y 0 ,y 0 y 1. Con esto ya podemos asegurar que en la ecuacion (a-1)(a-2)=b, y tomandonos a (a-1)(a-2)=(0)(-1) ó (1)(0) entonces b va a ser 0. y a seria 1 o 2 porque (a-1)=0 entonces a=1, y a-1=1, entonces a=2.
Expresare x a la n como x*n, porque no encuentro el simbolo que uso georges.
ResponderBorrarTenemos que a*2 -3a = b*3 -2
a*2 -3a +2 = b*3
Veamos que el miembro izquierdo de la ecuacion lo podemos factorizar, asi tendriamos:
(a -1)(a -2) = b*3
Entonces queremos que el producto de dos enteros consecutivos sea un cubo perfecto, pero es facil demostrar que dos enteros consecutivos son primos relativos, por lo que ambos deberian ser cubos perfectos por si mismos, pero no es posible que dos enteros consecutivos positivos sean cubos perfectos(la demostracion de esta afirmacion la pondre en el siguiente comentario). Por otra parte si consideramos enteros no positivos, es facil ver que las unicas soluciones de esta ecuacion son (a,b)= (1,0) y (2,0).
Demostracion de que dos enteros consecutivos positivos no pueden ser cubos perfectos ambos.
ResponderBorrarSupongamos que si es posible, entonces tendriamos que:
(1) a = b*3
(2) a +1 = C*3
Restando 1 en 2 tenemos que:
1 = c*3 -b*3
1 = [c -b][c*2 +cb +b*2)
Pero la unica posibilidad es que ambos factores fueran 1, pero esto es claramente imposible, pues el miembro izquiero es mayor a 1 para cualesquiera enteros positivos c y b, esto termina la demostracion.
Con respecto al problema, si fuera necesario se podria demostrar esto para enteros negativos, y el procedimiento seria de manera analoga
Cualquier duda o corrección la escriben por favor.
ResponderBorrarMmm, en la solucion quise decir el factor derecho, no el miembro izquierdo, disculpen por eso.
ResponderBorrarBien!! este es el problema 1 del regional de 2008
ResponderBorrar(que no me salio)
ResponderBorrarpues ami no me salio
ResponderBorrarlo que hice fue:
despejamos b^3 y nos queda:
a^2-3a+2=b^3
y ya despues factorizamos:
(a-1)(a-2)=b^3
y ya despues intente modulos y otras cosas
pero no llegue a nada, de hecho creo que los modulos no funcionan ahi, pero bueno creo que probar que el producto de 2 enteros consecutivos no sea un cubo no debe ser tan dificil pero pues no se como se haga,
ah tambien llegue a que 8 divide a b^3 pero creo que tampoco funciona
mta, no sabia que si el producto de 2 primos relativos es cubo entonces cada uno es cubo, ya ni modo
ResponderBorrarAl fin tengo tiempo jeje bueno pues tenemos que a^2-3a=b^3-2 a^2-3a+2=b^3 (a-2)(a-1)=b^3, sabemos que 2 números consecutivos son primos relativos ( si tenemos (b,b+1)=d, entonces tenemos que b=dx y b+1=dy, (b+1)-b= dy-dx=1 pero como d, x, y son enteros, entonces d(y-x)=1 y d=1, y-x=1 y pues y=b+1, x=b asi que son primos relativos) asi que necesitamos entonces que a-2 sea un cubo y que a-1 sea cubo también pero las únicas parejas de cubos consecutivos son: a-2=-1, a-1=0, de aqui tendríamos que (a,b)=(1,0) y a-2=0, a-1=1, en cuyo caso tendríamos que (a,b)=(2,0) En conclusión las únicas parejas (a,b) que cumplen que a^2-3a=b^3, son (1,0) y (2,0)
ResponderBorrarlo intente de nuevo y llegé a (a-1)(a-2)=b^^3 como la factorizacion de raul pero no supe que hacer despues
ResponderBorrarYo llegué a (a-1)(a-2)=b^3, y pues sabiendo que un cubo tiene todos sus primos cubos y que (a-1)(a-2) son numeros consecutivos. Como sabemos que los numeros consecutivos solo tiene 1 como mínimo comun divisor, entonces deben de ser dos numeros consecutivos de diferencia de 1 que los dos sean cubos. Eso no existe y para probarlo queria usar esto a^3-1=b^3 ó a^3+1=b^3. No se me habia ocurrido nada con esta ecuacion, pero pss otho me dijo que de alguna manera intentara usar factorizacion. Entonces tuve que a^3-b^3=1 ó en el otro caso a^3-b^3=-1 y esto es igual que (a-b)(a^2+ab+b^2)=1(ó -1) y la unica forma es en que te puede dar esto esque los dos sean 1 o uno de ellos sea -1 y el otro 1 y la unica forma de lleagr a esto es que b(ó a) sea 0 y que a(ó b) sea -1 o 1 entonces se forman dos parejas de cubos consecutivos -1 y 0 ,y 0 y 1. Con esto ya podemos asegurar que en la ecuacion (a-1)(a-2)=b, y tomandonos a (a-1)(a-2)=(0)(-1) ó (1)(0) entonces b va a ser 0. y a seria 1 o 2 porque (a-1)=0 entonces a=1, y a-1=1, entonces a=2.
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