Sean x, y, z enteros positivos tales que (1/x) - (1/y) = (1/z).
Sea h el maximo comun divisor de x,y,z.
Demuestra que (hxyz) y h(y-x) son ambos cuadrados perfectos.
a/b significa a entre b.
El máximo comun divisor de 3 números es el mayor entero que divide a los 3.
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ResponderBorrarSea x= ah, y= bh y z= ch, tenemos que:
ResponderBorrar1/ah - 1/bh = 1/ch
1/ah = 1/bh + 1/ch (I)
1/ah = (b+c)/bch
Multiplicando por bch ambos miembros tenemos que:
(bc)/a = b+c
Entonces a divide a bc,aqui tenemos dos casos, que a sea igual a 1 o que a sea distinto de 1 y divida a una y solo una de las dos variables (b o c).
Caso 1: a = 1, entonces tenemos que:
bc = b+c
bc -b = c
b(c-1) = c
Asi que c-1 divide a c, entonces c=b=2, sustituyendo los valores de a, b y c en (I), tenemos:
1/h = 1/2h +1/2h
1/h = 2(1/2h)
Asi que la ecuacion se cumple para cualquier entero h, ahora notemos que:
hxyz = h(ah)(bh)(ch)= h(h)(2h)(2h)= 4h*4
= [2(h*2)]*2
Por otro lado:
h(y-x)= h(bh-ah)= h[h(2-1)]= h*2
De donde es claro que hxyz y h(y-x) son ambos cuadrados perfectos.
Caso 2: "a" divide a "b" o a "c", sin perdida de generalidad podemos suponer que a divide a b, entonces escribimos a b como ak.
akc/a = ak +c
ck = ak + c
Entonces k divide a c, asi que escribamos a c como mk:
m(k*2) = ak +mk, dividiendo entre k tenemos que
mk = a + m, entonces m divide a a, asi que podemos escribir a a como pm.
asi tenemos que:
mk = pm + m, dividiendo entre k, tenemos que k = p+1, recapitulando tenemos que: a = mp, b = ak = (mp)(p+1) y c = mk = (m)(p+1), notemos entonces que m divide a a, b y c, pero como son primos relativos m es igual a 1 y nuestra ecuacion quedaria:
1/p= (1/p(p+1)) + 1/p+1),y la ecucaicon se cumple para cualquier entero p,notemos que p y p+1, son primos relativos.Por otro lado si h es su maximo comun divisor, la ecuacion se sigue cumpliendo para cualquier h y asi
hxyz= (h*4)abc=(h)*4)(p)(p)(p+1)(p+1)=
[(h*2)(p)(p+1)]*2 y h(y-x)=(h*2)[p+1) -p]= h*2p*2= (hp)*2, esto conluye la demostración
Bien!! Nada mas como comentario, el caso 2, contiene al caso 1 así que no tenias que ponerlo pero esta bien.
ResponderBorrarEste problema es de un nacional de inglaterra.
pues sustitui a x por ha, a y por hb y a z por hc luego tenemos en nuestra ecuacion dada:
ResponderBorrar1/ha-1/hb=1/hc
1/ha=1/hb + 1/hc
despues multiplicamos tal que
(c+b)/hbc=1/ha
despues solo pasamos hbc multiplicando
c+b=hbc/ha
c+b=bc/a pero c+b es un entero asi que a divide a bc. Ahora bien a,b,c son primos relativos que que si tubieran un divisor d de los tres, el maximo comun divisor no seria h sino hd ! entonces son primos relativos. entonces a es 1 porque no puede ser b ni c por obvias razones.
b+c=bc
bc -c=b
c(b-1)= b entonces dos numeros consecutivos siempre son primos relativos excepto 1 y 2 asi que c=b=2
sustituimos en nuestra ecuacion y nos queda
h*h*2h*2h=4h^4= (2h)^2
y el segundo problema
h(y-x)=h(hb-ha)=h(2h-h)=h^2
Anthony, tienes un error, llegas a que a divide a bc, y argumentas bien que los 3 no pueden tener un factor en común, pero no necesariamente a es igual a uno. Por ejemplo si a=2 b=3 y c=6, se satisfacen las condiciones del problema y a es distinto de uno.
ResponderBorrarCheca por que pasa esto, y que estuvo mal en tu prueba.
pues yo lo hice asi:
ResponderBorrarprimero multiplicamos todo por XY, nos queda:
Y-X=XY/Z => Y=XY/Z + X, luego nos tomamos X=ha, Y=hb, Z=hc, luego sustituimos y nos queda
hb=h^2ab/hc + ha, y cancelando las h's b=ab/c + a => b=a(b/c + 1), pero sabemos que si (n,m)=k y n=ki, m=kj => (i,j)=1 amenos que n=m, entonces aplicando esto tenemos que (b,c)=1 =>c no divide a b y b/c no es entero =>a(b/c + 1) no es entero, pero eso es absurdo => Y=Z => b=c => b=2a, pero (a,b)=1 => a=1, b=c=2 => hxyz=4h^4=(2h^2)^2 y h(Y-X)=h(2h-h)=h^2
no se si este bien segun yo si esta bien pero pues ahi lo checan
ah si es cierto, pense que el hecho de a fuera 1 cambiaba algo, gracias george
ResponderBorrarOhtokani, tu solución tiene un error, el hecho de que b/c no sea entero no implica que a(b/c + 1) no es entero.
ResponderBorrarY bueno claramente no siempre a tiene que ser igual a 1, por ejemplo si a=2 b=6 c=3 cumple las condiciones del problema y a es distinto de 1, checa eso.
YA!!! según yo por fin lo logre!!!
ResponderBorrarprimero, tenemos que ver que
1/x-1/y=1/z
(y-x)/xy=1/z
y-x=xy/z
Eso debemos recordarlo para el final.
Tomamos x=ah, y=bh y z=ch
tenemos que
1/ah-1/bh=1/ch
1/ah=1/ch+1/bh
1/ah=(b+c)/bch
bch/ah=b+c
bc/a=b+c
sabemos que b+c es entero por lo que tenemos dos casos ahora, cuando a=1 o cuando a divide a b o a c, no importa a cual.
Si a=1 entonces:
bc=b+c
bc-c=b
b(c-1)=c
b=c/(c-1) pero c-1 divide a c si c-1=1 en cuyo caso, tenemos que b=c=2 por lo que xyzh=4
y h(y-x)=1, ambos son cuadrados perfectos, ahora
tomemos que a divide a b. Si a divide a b, exite d tal que ad=b
sabíamos que:
bc/a=b+c
adc/a=ad+c
dc=ad+c
dc-c=ad
c(d-1)=ad
d-1 debe dividir a ad, y tenemos ahora dos casos de nuevo, si d-1 divide a d, entonces d-1=1 y d=2, b=2a, c=ad/(d-1)=2a, y tendríamos que x=ah, y=2ah, z=2ah, si a>1, entonces el máximo común divisor de x, y, z no sería h, asi que, no hay de otra más que a=1 y ya vimos que xyzh y h(y-x) son cuadrados perfectos.
Ahora vamos a cuando d-1 divide a "a".
si (d-1)|a, entonces existe e tal que e(d-1)=a
c(d-1)=ad
c=(d-1)ed/(d-1)
c=ed
de aqui tenemos que
x=ah=e(d-1)h
y=adh=e(d-1)dh
z=ch=edh
tenemos aqui algo parecido a lo que hicimos en el caso anterior, si e es mayor que 1, entonces h no sería el máximo común divisor de los 3, sería eh el máximo común divisor por lo que e debe ser igual a 1
y ahora tenemos que
x=(d-1)h
y=(d-1)dh
z=dh
hxyz=h(d-1)h(d-1)dhdh=h^4(d-1)^2d^2 que es un cuadrado perfecto y:
h(y-x)=h(xy/z)
hxy/z=h(d-1)h(d-1)dh/dh=h^3(d-1)^2d/dh
se nos cancela una h y la d y nos queda que:
h(y-x)=h^2(d-1)^2 que es un cuadrado perfecto.
María y Raul, me acabo de dar cuenta que tienen un problema en su prueba.
ResponderBorrarLlegan a que a divide a bc, y luego argumentan que entonces a divide a b o a divide a c, pero eso no es cierto. Si x=6 y=10 z=15 entonces se satisface que un sexto es igual a un décimo mas un quinceavo, y luego como h=1, a=6 b=10 c=15, y a divide a bc pero a no divide ni a b ni a c.
Chequen eso, si no les sale pongo la solución en la noche.
Entiendo..., para no escribir toda la solucion, unicamente considerare este tercer caso en el que a divide a bc, pero no divide ni a a ni a b.
ResponderBorrarRecordemos que a,b y c son primos relativos, por lo que no pueden tener un factor comun los tres, pero si por parejas.
Asi que en este caso podriamos escribir a a= mn, b=mk y c=np, claramente n no divide a mk, pues si n dividiera a mk, con, el maximo comun de a,b y c, seria n y no 1; usando el mismo argumento podemos decir que m no divide a np. Ahora reescribamos nuestra ecuación:
(mk)(np)/mn = mk + mp
kp = mk + np, pero asi es facil ver que k divide a np, y por lo tanto k dvide a p, pues si dividiera a n, se tendira un factor distinto de 1( k es distinto de 1, pues si lo fuera en la ecuacion nos quedaria algo absurdo, es facil comprobarlo) comun para a, b y c, lo cual es una contradiccion, haciendo la misma observacion podemos ver que p divide a k, asi que la unica posibilidad es que k = p, entocnes nuestra ecuacion quedaria:
mknk/mn = mk +nk
k*2 = k(m+n)
k= m+n.
Entonces hxyz= (h*4)(mn)(mk)(nk)=[(h*2)(mn)(k)]*2
Aun me falo probar h(y-X) es un cuadrado
Este no me salio. Empece a hacer cosas raras y no llegue a nada.
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