2do problema día 27 de septiembre
Dos círculos de distinto radio, con centros B y C se tocan externamente en A. Una tangente comun, que no pasa por A, toca al primer círculo en D y al segundo en E. La linea perpendicular a DE que pasa por A y la mediatriz de BC se intersectan en F. Demuestra que BC=2AF
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
pues no me salio, ya intente potencia, ciclicos, ptolomeo, y varias cosas mas pero no me sale, mejor pon la solucion
ResponderBorrarBueno, el truco es considerar los puntos medios de BC y DE.
ResponderBorrarSea M el punto medio de BC y N la intersección de la tangente comun de los círculos que pasa por A con DE. Por ser tangentes NA=ND de la misma forma NA=NE por lo tanto ND=NE osea N es el punto medio de DE.
Ahora como NA es tangente a los círculos entonces NA es perpendicular a BC. Como F esta sobre la mediatriz de BC entonces MF es perpendicular a BC.
Por lo tanto MF es paralela a NA.
Luego M y N son puntos medios de BC y DE entonces por Thales como CM/MB=EN/ND=1 y CE es paralela a BD, entonces MN es paralela a CE, que es paralela a AF.
Por lo tanto MN es paralela a AF, y por lo tanto FMNA es un paralelogramo, por lo que AF=MN.
Pero como BDEC es un trapecio debido a que DB es paralela a CE, entonces es conocido que la suma de las bases es igual a 2 veces la linea que une los puntos medios de los lados no paralelos (quien no lo sepa se lo dejo como ejercicio), en este caso BD+CE=2MN y como BD y CE son radios y MN=AF, esto es equivalente a BA+AC=2AF osea BC=2AF que es lo que queriamos demostrar.
En general la mayoría de problemas no requieren teoremas raros, solo requieren usar las herramientas normales de manera inteligente, así que en los examenes no se claven usando teoremas raros, intenten usar cosas básicas, y si ya lo intentaron un buen rato con cosas básicas y no les sale, entonces ya es recomendable empezar a usar cosas más rebuscadas. Lo digo por experiencia, el problema 1 de la APMO era de geometría y lo intente como 2 horas con el teorema de Pascal, geometría analitica, etc,etc. Y salía con puros angulitos jajaja....
lo senti muy dificil! = lo intente mucho tiempo y no lo resolvi, esta padre la solucion, de donde es?
ResponderBorrarEl problema es de Inglaterra, y la solución es como me salió a mi, pero tal vez hay una solución mas fácil.
ResponderBorrar