Otro problema
Cada casilla de un tablero de 2007 x 2007 contiene cero o una canica. Encuentra el minimo numero de canicas necesarias tal que cuando una casilla vacia arbitraria se selecciona, el numero total de canicas en la columna yrenglon correspondientes es al menos 2007.
Problema del dia
Un problema similar a uno que aparecio el año pasado en el regional.
Sea $S=\{1, 2, ..., n\}$ y sea $\{A_i\}$ el conjunto de subconjuntos de $S$ que contienen elementos no consecutivos de $S$ . Si $D(A_i)$ es el producto de los elementos de $A_i$ (con $D(\emptyset) =1$), muestren que
$$\sum_i D(A_i)^2 =(n+1)!$$
Sea $S=\{1, 2, ..., n\}$ y sea $\{A_i\}$ el conjunto de subconjuntos de $S$ que contienen elementos no consecutivos de $S$ . Si $D(A_i)$ es el producto de los elementos de $A_i$ (con $D(\emptyset) =1$), muestren que
$$\sum_i D(A_i)^2 =(n+1)!$$
Problema del día 28 de septiembre .
100 personas participan en un torneo de ajedrez, en el que todos juegan contra todos exactamente una vez. Se sabe que si dos personas empataron entonces cada una de las otras 98 personas le ganó a exactamente uno de ellos.
Si hubo al menos dos empates demuestra que podemos ordenar a los concursantes en una fila de tal forma que cada persona le ganó a la que está exactamente atras de ella.
Si hubo al menos dos empates demuestra que podemos ordenar a los concursantes en una fila de tal forma que cada persona le ganó a la que está exactamente atras de ella.
Resultados - y algo urgente
Hola a Todos
Califican a la siguiente ronda (junto con Daniel P) y van al regional
Maria N
Georges
Raul
Ohto
Daniel O
Anthony
Maria T
Diego
Urge que le manden a Larissa su fecha de nacimiento para la compra de los seguros.
Califican a la siguiente ronda (junto con Daniel P) y van al regional
Maria N
Georges
Raul
Ohto
Daniel O
Anthony
Maria T
Diego
Urge que le manden a Larissa su fecha de nacimiento para la compra de los seguros.
2do problema día 27 de septiembre
Dos círculos de distinto radio, con centros B y C se tocan externamente en A. Una tangente comun, que no pasa por A, toca al primer círculo en D y al segundo en E. La linea perpendicular a DE que pasa por A y la mediatriz de BC se intersectan en F. Demuestra que BC=2AF
Problema del día 27 de septiembre
Una semana para el regional, y menos de dos meses para el nacional. Echenle ganas!!
Sea ABC un triangulo acutangulo, y M un punto sobre el segmento BC.
Sea P la intersección de la perpendicular a BC que pasa por B con la perpendicular a AB que pasa por M, y Q la intersección de la perpendicular a BC que pasa por C con la perpendicular a AC que pasa por M.
Demuestra que PQ es perpendicular a AM si y solo si M es el punto medio de BC.
Sea ABC un triangulo acutangulo, y M un punto sobre el segmento BC.
Sea P la intersección de la perpendicular a BC que pasa por B con la perpendicular a AB que pasa por M, y Q la intersección de la perpendicular a BC que pasa por C con la perpendicular a AC que pasa por M.
Demuestra que PQ es perpendicular a AM si y solo si M es el punto medio de BC.
Como les fue en el examen?
Hola a Todos
Me gustaria que cada uno de ustedes me dijera como les fue
en el examen de ayer sabado 24 de septiembre. Yo empezaré
a revisar mañana, pero me gustaría tener una idea.
Me gustaria que cada uno de ustedes me dijera como les fue
en el examen de ayer sabado 24 de septiembre. Yo empezaré
a revisar mañana, pero me gustaría tener una idea.
Problemas del 23 de septiembre
Les dejo 2 problemas de teoria de números
1.- Encuentra todos los enteros positivos n tales que n!+5 sea un cubo perfecto.
2.- Muestra que si a y b son enteros positivos, el numero (36a+b)(a+36b) no puede ser una potencia de 2.
1.- Encuentra todos los enteros positivos n tales que n!+5 sea un cubo perfecto.
2.- Muestra que si a y b son enteros positivos, el numero (36a+b)(a+36b) no puede ser una potencia de 2.
2do problema día 22
Les dejo otro problema para el día 22.
Sean x, y, z números reales distintos de cero tales que xyz=1 y x+y+z=(1/x)+(1/y)+(1/z). Demuestra que alguno de x, y o z es igual a 1.
¿Alguien no sabe la diferencia entre números reales y números enteros?
Problema del 22 de septiembre
Sean x, y, z enteros positivos tales que (1/x) - (1/y) = (1/z).
Sea h el maximo comun divisor de x,y,z.
Demuestra que (hxyz) y h(y-x) son ambos cuadrados perfectos.
a/b significa a entre b.
El máximo comun divisor de 3 números es el mayor entero que divide a los 3.
Sea h el maximo comun divisor de x,y,z.
Demuestra que (hxyz) y h(y-x) son ambos cuadrados perfectos.
a/b significa a entre b.
El máximo comun divisor de 3 números es el mayor entero que divide a los 3.
Problema del 21 de septiembre
Un tablero de 7 por 7 se va a cubrir con 16 fichas de 1 por 3 y una de 1 por 1 Encuentra todos los posibles lugares donde puede acabar la ficha de 1 por 1.
los proximos dias Georges pondra los problemas.
Hagan pedazos al DF en el regional. :D
los proximos dias Georges pondra los problemas.
Hagan pedazos al DF en el regional. :D
problemas del 19 y 20 de septiembe
Problema del 19:
Demuestra que las proyecciones del pie de la altura del triangulo sobre los lados que la comprenden , y sobre las otras dos alturas se hallan en una recta.
Problema del 20:
Demuestra que si a un tablero de 2^n por 2^n le quitamos una casilla, el resto se puede cubrir con fichas L de 3 casillas (2 casillas y una en ota dirección)
Demuestra que las proyecciones del pie de la altura del triangulo sobre los lados que la comprenden , y sobre las otras dos alturas se hallan en una recta.
Problema del 20:
Demuestra que si a un tablero de 2^n por 2^n le quitamos una casilla, el resto se puede cubrir con fichas L de 3 casillas (2 casillas y una en ota dirección)
Problema 15 de septiembre
Encuentra todas las parejas de enteros (a,b) tales que a^2-3a = b^3-2
x^n significa equis a la n.
x^n significa equis a la n.
Hola a Todos
Me da gusto que hayan entrado al blog, hay registradas 10 personas, faltan dos, pero no
se quienes son.
Mañana a pesar del puente si habra entrenamiento, voy a mandarle problemas a Georges y Daniel para que los vean con ustedes mañana y el sabado, yo espero ir algunos de los dias.
se quienes son.
Mañana a pesar del puente si habra entrenamiento, voy a mandarle problemas a Georges y Daniel para que los vean con ustedes mañana y el sabado, yo espero ir algunos de los dias.
Problema del día 14 de septiembre (Coloración de ajedrez)
La coloración de ajedrez suele ser muy útil en problemas de tableros, especialmente cuando te dicen que de una casilla solo te puedes mover a otra con la que comparta lado, por que así te queda la invarianza de que de una casilla negra solo te puedes mover a blanca y viceversa.
Les dejo dos problemas que salen con esta idea.
Problema 1: Considera un tablero de mxn donde m y n son enteros impares. Un movimiento permitido es ir de una casilla a otra con la que comparta lado. Demuestra que no es posible empezar en una casilla, pasar por todas las demas casillas del tablero exactamente una vez y regresar a la casilla inicial.
Problema 2: Se tienen dos triangulos equilateros de lado n con n entero positivo, esos triángulos se pegan de tal forma que compartan un lado. Cada uno de estos triángulos se divide en n^2 triangulos equilateros mediante lineas paralelas a sus lados (por ejemplo si n=2 sería unir los puntos medios de los lados y te quedarían 4 triangulos equilateros). A y B juegan un juego en este tablero, A juega con una ficha roja y B juega con una ficha azul que inicialmente se ponen en esquinas opuestas del tablero (los vértices mas lejanos de cada uno de los triángulos equilateros). En cada turno los jugadores mueven su ficha a una casilla que comparta lado con la casilla en la que estaba. Para ganar el juego un jugador debe mover su ficha a una casilla en la que se encuentre la ficha del otro jugador (comerse la ficha) o llegar a la esquina opuesta de la que estaba. Si A y B juegan alternadamente y A empieza, ¿Quién tiene estrategia ganadora?
¿Si se entiende?
Con esta idea de colorear como ajedrez salía el problema 3 del regional pasado!
Les dejo dos problemas que salen con esta idea.
Problema 1: Considera un tablero de mxn donde m y n son enteros impares. Un movimiento permitido es ir de una casilla a otra con la que comparta lado. Demuestra que no es posible empezar en una casilla, pasar por todas las demas casillas del tablero exactamente una vez y regresar a la casilla inicial.
Problema 2: Se tienen dos triangulos equilateros de lado n con n entero positivo, esos triángulos se pegan de tal forma que compartan un lado. Cada uno de estos triángulos se divide en n^2 triangulos equilateros mediante lineas paralelas a sus lados (por ejemplo si n=2 sería unir los puntos medios de los lados y te quedarían 4 triangulos equilateros). A y B juegan un juego en este tablero, A juega con una ficha roja y B juega con una ficha azul que inicialmente se ponen en esquinas opuestas del tablero (los vértices mas lejanos de cada uno de los triángulos equilateros). En cada turno los jugadores mueven su ficha a una casilla que comparta lado con la casilla en la que estaba. Para ganar el juego un jugador debe mover su ficha a una casilla en la que se encuentre la ficha del otro jugador (comerse la ficha) o llegar a la esquina opuesta de la que estaba. Si A y B juegan alternadamente y A empieza, ¿Quién tiene estrategia ganadora?
¿Si se entiende?
Con esta idea de colorear como ajedrez salía el problema 3 del regional pasado!
Instrucciones
Hola a todos:
En este blog vamos a poner problemas, trucos, teoria, etc.
La idea es que cada problema lo intenten 40 min-1 hora, dependiendo de como vayan avanzando, y despues escriban como comentario en la entrada del problema su solución, o a lo que llegaron, no importa si ya hay una solución igualita a la suya, igual escribanla. Si no llegaron a nada y ya hay una solución, no importa, escriban que no llegaron a nada, y despues ya pueden leer la solución, pero si nos interesa que pongan a lo que llegaron, por que así podemos saber como van avanzando y en que les falta mas entrenamiento.
Lo mismo con cualquier entrada que no sea problema, digamos un teorema o cualquier información en general que pongamos, queremos que comenten en cada entrada para saber que si estan leyendo el blog.
¿Alguna pregunta?
En este blog vamos a poner problemas, trucos, teoria, etc.
La idea es que cada problema lo intenten 40 min-1 hora, dependiendo de como vayan avanzando, y despues escriban como comentario en la entrada del problema su solución, o a lo que llegaron, no importa si ya hay una solución igualita a la suya, igual escribanla. Si no llegaron a nada y ya hay una solución, no importa, escriban que no llegaron a nada, y despues ya pueden leer la solución, pero si nos interesa que pongan a lo que llegaron, por que así podemos saber como van avanzando y en que les falta mas entrenamiento.
Lo mismo con cualquier entrada que no sea problema, digamos un teorema o cualquier información en general que pongamos, queremos que comenten en cada entrada para saber que si estan leyendo el blog.
¿Alguna pregunta?
Problema del 13 de Septiembre
En el triangulo ABC se trazan las bisectices de los ángulos A y C. Sean K y L los pies de las perpendiculares del punto B sobre las bisectrices. Demuestre que la recta KL es paralela a AC
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En este blog vamos a estar poniendo por lo menos un problema diario, para que lo intenten en casa
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