En el 1 me fijé que las formas de formar -1(mod 24) son 1*-1, 5*-5, 7*-7, 11*-11 y estas son las únicas. Esto lo verifiqué eliminando casos... por ejemplo, 2x congruente a -1 no es posible porque -1 (mod 24) siempre es par. El punico que me costó fue 9x, pero pues hice los casos. Entonces como n es congruente a -1 mod 24, sus divisores están en parejas y tienen esas congruencias. Entonces se eliminan y pues la suma es congruente a 0.
Ahora, el 2 no me ha salido! Lo único a lo que he llegado es que es suma de 3 cuadrados x.x
Bueno, utilizando el hint, escribimos 5n+3 así y hacemos una diferencia de cuadrados, o sea 5n+3= (2x+y)(2x-y), donde x= sqrt(2n+1) y y=sqrt(3n+1) Luego, si suponemos que el número 5n+3 es primo, entonces alguno de los dos números que se multiplican debe ser 1. Como 2x-y es el menor, este tiene que ser 1(es el menor porque tomamos las raíces positivas, para no complicarnos). Entonces, 2x-y= 1 y de aquí que 4x^2= y^2 +2y +1 o sea que 8n+4=3n+2 + 2y y entonces 2y= 5n+2 y y=(5n+2)/2 pero como y^2= 3n+1, entonces (25n^2+20n+4)/4= 25n^2/4 +5n+1 = 3n+1, pero lo de la izquierda es claramente mayor a lo de la derecha, lo cual es una contradicción.■
En el 1 me fijé que las formas de formar -1(mod 24) son 1*-1, 5*-5, 7*-7, 11*-11 y estas son las únicas. Esto lo verifiqué eliminando casos... por ejemplo, 2x congruente a -1 no es posible porque -1 (mod 24) siempre es par.
ResponderBorrarEl punico que me costó fue 9x, pero pues hice los casos.
Entonces como n es congruente a -1 mod 24, sus divisores están en parejas y tienen esas congruencias. Entonces se eliminan y pues la suma es congruente a 0.
Ahora, el 2 no me ha salido!
Lo único a lo que he llegado es que es suma de 3 cuadrados x.x
bien, pensare en algun hint para el 2
ResponderBorrarHints:
ResponderBorrar1) se antoja usar modulos, pero mod24 suena complicado, sin embargo sabemos que basta ver mod8 y mod3
2) notamos que 5n+3=4(2n+1)-(3n+1)
Bueno, utilizando el hint, escribimos 5n+3 así y hacemos una diferencia de cuadrados, o sea 5n+3= (2x+y)(2x-y), donde x= sqrt(2n+1) y y=sqrt(3n+1)
ResponderBorrarLuego, si suponemos que el número 5n+3 es primo, entonces alguno de los dos números que se multiplican debe ser 1. Como 2x-y es el menor, este tiene que ser 1(es el menor porque tomamos las raíces positivas, para no complicarnos). Entonces, 2x-y= 1 y de aquí que 4x^2= y^2 +2y +1 o sea que 8n+4=3n+2 + 2y y entonces 2y= 5n+2 y y=(5n+2)/2 pero como y^2= 3n+1, entonces (25n^2+20n+4)/4= 25n^2/4 +5n+1 = 3n+1, pero lo de la izquierda es claramente mayor a lo de la derecha, lo cual es una contradicción.■