Ya se me ocurrió, b= a+d y c= a + 2d , te fijas que a y d puedes extraerle sus términos en común hasta que sean primos relativos y la expresión te queda de la misma forma y llegas a que ambos son múltiplos de 3 contradicción!
Hint: Como a,b y c estan en prgresión lo mejor es sustituir (una opción es a=a, b=a+d, c=a+2d), pero esto se compliacará más al elevar al cuadrado. Es mejor tomar a=b-d,b=b y c=b+d, de lo que les quede supongan que son primos relativos y si no lo son pueden dividir entre su max comun div y les queda la misma ecuación con primos relativos, luego ya pueden usar modulos.
Ok ya: Usamos los números del hint y nos queda que (a^2)+(b^2)+(c^2)=(3b^2)+(2d^2). Supongamos que esto es igual a un y^2. Ahora, supongamos que b^2 y d^2 no son primos relativos. Entonces dividimos entre el mcd(sea x^2) y este esta en una potencia par, por lo que (y^2)/(x^2) sigue siendo un cuadrado perfecto. Ahora, vemos [(3b^2)+(2d^2)]/(x^2) (mod 4). Si esto fuera un cuadrado, entonces debería ser congruente a 0 o 1 (mod 4), pero claramente no es congruente a esto. Para verlo, nos fijamos en que s+olo uno de (3b^2)/(x^2) y (2d^2)/(x^2) puede ser congruente a 0 (mod 4) si es (3b^2)/(x^2), entonces (2d^2)/(x^2) es congruente a 2 (mod 4), pues (d/x)^2 debe ser congruente a 1. Entonces la suma es congruente a 2 (mod 4) y no es cuadrado. Si (2d^2)/(x^2) es congruente a 0, de manera similar tendremos que (3b^2)/(x^2)será congruente a 3. Entonces la suma es congruente a 3 y tampoco es un cuadrado.
Ehm bueno... ya dijiste todo... pues te fijas que para que sea un cuadrado, (2d^2)/x^2(mcd) tiene que ser congruente a 0 pero esto es una contradicción.
Ok aquí si no tengo idea. Intenté módulos pero no parece servir.
ResponderBorrarSalió rápido, sólo ves que se vuelve como un ciclo infinito, pero no sé bien como formalizar la conclusión.
ResponderBorrarYa se me ocurrió, b= a+d y c= a + 2d , te fijas que a y d puedes extraerle sus términos en común hasta que sean primos relativos y la expresión te queda de la misma forma y llegas a que ambos son múltiplos de 3 contradicción!
ResponderBorrarbien Diego
ResponderBorrarHint:
ResponderBorrarComo a,b y c estan en prgresión lo mejor es sustituir (una opción es a=a, b=a+d, c=a+2d), pero esto se compliacará más al elevar al cuadrado. Es mejor tomar a=b-d,b=b y c=b+d, de lo que les quede supongan que son primos relativos y si no lo son pueden dividir entre su max comun div y les queda la misma ecuación con primos relativos, luego ya pueden usar modulos.
Ok ya:
ResponderBorrarUsamos los números del hint y nos queda que (a^2)+(b^2)+(c^2)=(3b^2)+(2d^2). Supongamos que esto es igual a un y^2. Ahora, supongamos que b^2 y d^2 no son primos relativos. Entonces dividimos entre el mcd(sea x^2) y este esta en una potencia par, por lo que (y^2)/(x^2) sigue siendo un cuadrado perfecto.
Ahora, vemos [(3b^2)+(2d^2)]/(x^2) (mod 4). Si esto fuera un cuadrado, entonces debería ser congruente a 0 o 1 (mod 4), pero claramente no es congruente a esto. Para verlo, nos fijamos en que s+olo uno de (3b^2)/(x^2) y (2d^2)/(x^2) puede ser congruente a 0 (mod 4) si es (3b^2)/(x^2), entonces (2d^2)/(x^2) es congruente a 2 (mod 4), pues (d/x)^2 debe ser congruente a 1. Entonces la suma es congruente a 2 (mod 4) y no es cuadrado.
Si (2d^2)/(x^2) es congruente a 0, de manera similar tendremos que (3b^2)/(x^2)será congruente a 3. Entonces la suma es congruente a 3 y tampoco es un cuadrado.
Mal, que pasa si (d/x)^2 es congruente (b/x)^2 congruente a 1 entonces [(3b^2)+(2d^2)]/(x^2) es congruente a 3+2=1
Borrary se vale.
ultimo hint: usar mod 3
ResponderBorrarEhm bueno... ya dijiste todo... pues te fijas que para que sea un cuadrado, (2d^2)/x^2(mcd) tiene que ser congruente a 0 pero esto es una contradicción.
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