Problema lunes 20 febrero
Tres estudiantes, A, B y C concursan en hacer algunos examenes. Por sacar el primer lugar en un examen, un estudiante gana x puntos; por quedar en segundo y puntos y por quedar en tercero, z puntos. x, y y z son enteros positivos con x > y > z. No hubo empates en ningun examen. En total, A acumuló 20 puntos, B acumuló 10 puntos y C acumuló 9 puntos.El estudiante A obtuvo segundo lugar en el examen de algebra. ¿Quién quedó en segundo lugar en el examen de geometria?
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Cuando vi A, B, C pensé que iba a ser de geometría :(
ResponderBorrarBueno a la solución:
Llamemos n a la cantidad de examenes que se realizaron.
Tenemos que n(x+y+z)=39, que es la suma de las cantidades totales.
Ahora, sabemos que n es entero positivo y también lo es x+y+z.
Entonces, sólo hay 2 formas de formar 39 como producto de dos enteros positivos y estas son 3*13 y 39*1. La segunda no es posible, debido a que n no puede ser 1 porque sabemos que hay al menos 2 exxámenes (geometría y álebra) y x+y+z tampoco puede ser 1, porque de hecho x+y+z>=1+2+3=6, pues son enteros positivos distintos.
Entonces tiene que ser 3*13. Ahora, como ya mencioné, x+y+z>= 6, por lo que no puede ser 3. Entonces x+y+z=13 y n=3.
Entonces tenemos que hubieron 3 exámenes.
A partir de aquí hize un poco de talacha. Vi que las formas de formar 13 como suma de 3 enteros positivos son las siguientes:
10+2+1
9+3+1
8+4+1
8+3+2
7+5+1
7+4+2
6+5+2
6+4+3
Y no me fue difícil verificar que la única en la que se podían crear las sumas 20, 10 y 9 es 8+4+1. Esto... bueno lo explicaré aunque es un poco largo
La primera opción no se puede puesto que tiene un 10 y A no puede tener 3 10's entonces B o C tienen un 10 pero esto no es posible.
La segunda lo mismo, pero con el 9.
La cuarta, no se puede formar 20.(en 3 movimientos).
La 5ta, " " ".
La 6ta " " ".
La 7ma " " " ".
Y entonces x y y z son 8,4,1 respectivamente.
Ahora, sabemos que A tuvo un 4. Pero como debe tener 20, entonces sus otros dos números son 8. Para formar 9 con lo que queda, la única forma es 1,4,4. Entonces C fue el segundo lugar en los dos exámenes distintos de álgebra. Y entre estos, está el de geometría. Entonces, la respuesta es C. Y B se queda con 8,1,1.
Hint:
ResponderBorrarnotar que x+y+z=13, luego acotar:
ver que x+2z=<10
y ver que 2x+z=<20
usando los dos anteriores ver que 8>=x>=8
concluir