Problema 1 de Marzo

1)Demostrar que la suma de las distancias desde cualquier punto interior de un triángulo equilátero a sus lados es constante.

2)Se dan una circunferencia y un punto A fuera de ésta. AB y AC son las tangentes a la circunferencia. Demostrar que el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC se halla sobre la circunferencia.

Problema 29 de Febrero

Sean a, b y c tres números enteros en progresión aritmética. Muestra que a^2 + b^2 + c^2 no es un cuadrado perfecto.

Problema 28 de febrero

Sea A un entero positivo tal que 2A es un cuadrado perfecto, 3A es un cubo
perfecto y 5A es un número elevado a la quinta potencia.
(a) Encuentra un valor de A que cumpla las condiciones anteriores.
(b) Prueba que existe un número infinito de valores que puede tomar A.

Problema 24 de Febrero

Alrededor de una mesa redonda se sientan 2n peruanos, 2n bolivianos y 2n ecuatorianos. Si se pide que se pongan de pie todos los que tienen como vecinos, a su derecha y a su izquierda, a personas de la misma nacionalidad, ¿Cuál es el mayor número de personas que se pueden poner de pie?

Problema 23 Febrero

A y B juegan con un montón de 2003 fichas por turnos. En cada turno se permite quitar una cantidad una cantidad de fichas que sea un divisor de la cantidad de fichas en el montón. Pierde quién quite la última ficha. Si A juega primero, ¿quién tiene estrategia ganadora?

Miercoles 2 de febrero

Sean a,b y c reales positivos tales que abc=1. Demuetra que
1/[a^3(b+c)] + 1/[b^3(c+a)] + 1/[c^3(a+b)] > 3/2
( nota: es mayor o igual)

Problema martes 21

1) Sea n un natural tal que n+1 es divisible por 24. Prueba que la suma de
todos los divisores de n tambien es divisible por 24.

2) Si 2n + 1 y 3n + 1 son cuadrados entonces 5n + 3 no es un primo.

Problema lunes 20 febrero

Tres estudiantes, A, B y C concursan en hacer algunos examenes. Por sacar el primer lugar en un examen, un estudiante gana x puntos; por quedar en segundo y puntos y por quedar en tercero, z puntos. x, y y z son enteros positivos con x > y > z. No hubo empates en ningun examen. En total, A acumuló 20 puntos, B acumuló 10 puntos y C acumuló 9 puntos.El estudiante A obtuvo segundo lugar en el examen de algebra. ¿Quién quedó en segundo lugar en el examen de geometria?

Problemas

Dados n+2 enteros cualesquiera demuestra que hay dos cuya suma o cuya diferencia es divisible entre 2n.

Un sombrero tiene n pelotas algunas rojas y otras azules se sacan 5 de ellas (sin regresarlas al sombrero) se sabe que la probabilidad de que las 5 sean rojas es exactamente 1/2 ¿Cual es el menor valor posible que puede tener n?