MORELOS Hay jerarquias: julio 2011

Examen del sabado 30 de octubre

Hola a Todos

Me comento Diego que habia un error tipografico en el problema de Geometria, quienes de ustedes lo intentaron hacer con la correccion, si es que se dieron cuenta, pues parece que Diego
si entendio donde estaba el error.

Saludos

Rogelio

Problema

sea $P$ el producto de todos los digitos, distintos de cero, de un entero $n$ . Por ejemplo, $P(4) = 4$ , $P(50) = 5$ , $P(123) = 6$ , $P(2009) = 18$ .
encuentra el valor de la suma: P(1) + P(2) + ... + P(2010) + P(2011).

Resultados primer examen

Anthony 7 7 7 21
Diego 5 7 7 19
Nidia 5 7 7 19
Victor 5 7 7 19
Paulina 7 0 7 14
Orlando 6 0 7 13
Ricardo 5 0 7 12
Jesus 7 1 2 10
Omar 2 0 7 9
Adrian 2 0 4 6
Eduardo 3 1 1 5

Desigualdades

Les dejo unas desigualdades para que practiquen. Todas salen con Media geometrica media aritmetica.

1.-Sean a,b,c reales positivos, entonces
[(a^2)(b)+(b^2)(c)+(c^2)(a)][(b^2)(a)+(c^2)(b)+(a^2)(c)]>=9(a^2)(b^2)(c^2)

2.-Sean a,b,c reales positivos tales que abc=1. Muestra que
(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c)>=3

3.-Sean a,b,c reales positivos con a+b+c=1, muestra que
[(a+1)/a][(b+1)/b][(c+1)/c]>=64

4.-Sean x,y,z reales positivos. Muestra que
[(x+y+z)^2]/3>=(x)(raiz yz)+(y)(raiz zx)+(z)(raiz xy)

(raiz ab) es la raiz cuadrada de la multiplicacion de a y b.

5.-Para reales positivos x,y,z muestra que x^4 + y^4 + z^2 >=xyz(raiz 8)

Problema del día

1.- Demuestra que 2009!-1 no es primo.

2.-Si a,b,c son reales positivos, entonces a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)

3.-El plano es dividido en regiones por lineas rectas. Muestra que siempre es posible colorear las regiones con dos colores de tal forma que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color(como tablero de ajedrez)

Problemas de entrenamiento viernes 08 de julio

1.-En un triangulo ABC se E el punto medio de AC y sea F el punto medio de BC. Sea G el pie de la altura desde C sobre AB. Muestre que EFG es isosceles si y solo si ABC es isosceles.

2.-Considera tres círculos c1,c2 y c3 tales que c1 y c2 son tangentes externamente en el punto A, c2 y c3 tangetes externamente en B y c3 y c1 son tangentes externamente en el punto C. Si el triangulo ABC es equilatero muestra que los radios de los tres círculos son iguales

3.-Sea D un punto sobre el lado AB de un trianguo acutángulo ABC tal que el triángulo BCD es también acutángulo. Sea H el orotocentro del triángulo BCD. Muestre que si los puntos A,D,H y C estan en un círculo, entonces el triángulo ABC es isoceles.

4.-Sea ABC un triángulo acutángulo. Denote por H a su ortocentro y sean A', B', C' los pies de las alturas desde A,B y C respectivamente. Sean P el punto medio de AH, Q la intersección de B'P y AB, y R la intersección de A'C' y BB'. Muestra que B'QC'R es un cuadrilatero cíclico.

5.- Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C y sea D un punto en el segmento BC. Denota al circuncírculo del triángulo ABD por K. Sea E un punto en K tal que la cuerda DE es perpendicular a AB. Muestra que el triángulo AEB es isosceles(angulo diferente en B) si y solo si CA es tangente a K.

6.-Se ABCDE un pentágono donde K,L,M,N son los puntos medios de AB, BC, CD,DE respectivamente. SEan P,Q,F los puntos medios de KM,LN,AD reespectivamente. Muestra que PQ y AE son paralelos y AE=4PQ.

Problema del día 6 de julio

Sean ABC un triángulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la intersección del lado AC con la intersección de la bisectriz del angulo ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea O el circuncentro del triangulo ABC y sean X,Y,Z los puntos donde se cortan las rectas AD con BE, BE con CF y CF con AD respectivamente. Si XYZ es un triangulo equilatero demuestra que uno de los triángulos OXY, OYZ, OZX es un triángulo equilatero.

MORELOS Hay jerarquias