Solucion del problema el tablero de 2007 x 2007

Coloreamos el tablero como si fuera de ajedrez, y si colocamos ((2007^2)+1)/2 canicas, con una canica en cada una de las esquinas, se satisafce la condicion. Ahora mostremos que ((2007^2)+1)/2 canicas son necesarias.

Supongase que la condicion se satisface, asuma que el minimo numero de canicas en cualquier renglon o columna es k. Sin perdida de generalidad, supongase que alguna columna contiene k canicas. Para cada una de las k canicas en esa columna, el renglon que contiene a la canica debe contener debe contener al menos k canicas por nuestra suposicion acerca de k. Para que las 2007-k casillas en la columna sin canicas satisfagan la condicion debe haber al menos 2007-k canicas en el renglon correspondiente que contiene la casillas vacia. Entonces el numero total de canicas es al menos
k^2 + (2007-k)^2 = 2 ( k - 2007/2)^2 + (2007^2)/2
lo cual es mayor o igual que
(2007^2)/2
Como el numero de canicas debe ser un numero entero, este debe ser al menos ((2007^2)+1)/2 .