La desigualdad útil nos dice que si a,b,c,x,y,z son reales y x,y,z son positivos, entonces:
a^2/x+b^2/y+c^2/z>=(a+b+c)^2/(x+y+z)
Muchas veces tenemos fracciones, pero el numerador no es un cuadrado, el truco ahi es convertirlo en un cuadrado por ejemplo si tuvieramos p/q lo podemos ver como p^2/pq.
Problema 1: Demuestra la desigualdad
Problema 2: Usando la desigualdad útil demuestra que si a,b,c son reales positivos tales que 1/a+1/b+1/c=1 entonces a^2+b^2+c^2>=2a+2b+2c+9 (suena conocida?)
intente un ratito el problema 2 y llegue a que los dos lados son iguales o mayores que 27, pero ya no se que hacer de ahi.
ResponderBorrarel problema 2 aun no lo tengo, acabo de hacer el uno según yo...
ResponderBorrarprimero a^2/x+b^2/y+c^2/z=a^2yz+b^2xz+c^2xy/xyz>=(a+b+c)^2/(x+y+z) que es igual a a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc, eso sucede si (x+y+z)(a^2yz+b^2xz+c^2xy)>=xyz(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)
<=>a^2xyz+b^2x^2z+c^2x^2y+a^2y^2z+b^2xyz+c^2xy^2+a^2yz^2+b^2xz^2+c^2xyz>=a^2xyz+b^2xyz+c^2xyz+2abxyz+2acxyz+2bcxyz
<=>b^2x^2z+c^2x^2y+a^2y^2z++c^2xy^2+a^2yz^2+b^2xz^2>=2abxyz+2acxyz+2bcxyz
<=> b^2x^2z+c^2x^2y+a^2y^2z+c^2xy^2+a^2yz^2+b^2xz^2-2abxyz-2acxyz-2bcxyz>=0
<=> (azy^(1/2)-cxy^(1/2))^2+(ayz^(1/2)-bxz^(1/2))^2+(bzx^(1/2)-cyx^(1/2))^2>=0
eso es una suma de cuadrados asi que sabemos que eso se cumple porque d^2>=0
ya los estube intentando, aun no puedo demostrar la desigualdad util
ResponderBorrarCreo que la solución de María esta bien.
ResponderBorrarPara probar la desigualdad util es mas facil probarlo primero para dos variables y luego hacerlo para 3.
a^2/x+b^2/y>=(a+b)^2/x+y <=>ya^2+xb^2>=xy(a+b)^2/x+y<=>xya^2+xyb^2+y^2a^2+x^2b^2>=xya^2+2abxy+xyb^2<=>y^2a^2-2abxy+x^2b^2>=0 <=> (ya-xb)^2>=0 que claramente si es cierto.
Por lo tanto ya la probamos para dos variables por lo que:
a^2/x+b^2/y+c^2/z>=(a+b)^2/x+y +c^2/z>= (a+b+c)^2/x+y+z.
Que es lo que queríamos probar.
De esta manera podemos generalizar la desigualdad util para n variables.
Para el problema 2 primero veamos que
ResponderBorrar(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9.
Para ver esto usemos el truco de convertir el numerador en cuadrado y usar la desigualdad útil.
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=(a+b+c)^2/(a+b+c)a+(a+b+c)^2/(a+b+c)b+(a+b+c)^2/(a+b+c)c>=(a+b+c+a+b+c+a+b+c)^2/(a+b+c)a+(a+b+c)b+(a+b+c)c=9(a+b+c)^2/(a+b+c)^2=9.
Por lo tanto (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) >=9 pero como (1/a+1/b+1/c)=1 entonces a+b+c>=9.
Por lo tanto a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3=(a+b+c)(a+b+c)/3>=9(a+b+c)/3=3(a+b+c)=2(a+b+c)+(a+b+c) >=2(a+b+c)+9.
Donde la primera desigualdad fue la útil y las demas desigualdades fueron por el hecho de que a+b+c>=9. Por lo tanto concluimos que a^2+b^2+c^2>=2(a+b+c)+9.
Que es lo que queriamos probar.
a ok, aunque podias probar que a+b+c >= 9 mas facil
ResponderBorrarsabemos que
1 = 1/a + 1/b + 1/c >= 3^2/a+b+c
por la desigualdad util, entonces pasamos multiplicando:
a+b+c >= 3^2 = 9
Si es cierto ohto jaja, está mucho más facil!!! ¿Hiciste eso en el examen?
ResponderBorrarpondre mi solucion al segundo! aun no veo la de georges :)
ResponderBorrara²+b²+c²>=2a+2b+2c+9
<=>a²+b²+c²-2a-2b-2c>=9
<=>a²+b²+c²-2a-2b-2c+3>=9+3
<=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²>=12
de la desigualdad útil, nosotros sabemos que1
(a-1)²/1+(b-1)²/1+(c-1)²/1>=(a+b+c-3)²/3
si probamos que (a+b+c-3)>=12, entonces se cumpliría que (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²>=12
ahora, por otro lado tenemos que 1/a+1/b+1/c>=3²/(a+b+c)
asi que tenemos que:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9, y de aqui, como 1/a+1/b+1/c=1, tenemos que a+b+c>=9 y por lo tanto, a+b+c-3>=6 por lo tanto
(a+b+c-3)²/3>=6²/3
(a+b+c-3)²/3>=36/3
(a+b+c-3)²/3>=12 que era lo que queríamos probar para que
a²+b²+c²>=2a+2b+2c+9
Bien!!!
ResponderBorrarpues yo llegue a lo mismo que georges, pero representaba (a+b+c) como 9, entonces por eso me quedaba mayor o igual a 27, porque le queda que es igual o mayor que 2(a+b+c)+9 y lo que yo hacia era sustituir el a+b+c por el 9, pero en realidad es lo mismo y no sabia que si probabas que los dos eran iguales o mayores que el otro acababas.
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