Problema 1: Al concurso interplanetario de matemáticas van n estudiantes de la Tierra, n estudiantes de Marte, y n estudiantes de Júpiter. Cada estudiante tiene al menos n+1 amigos entre los estudiantes de los otros dos planetas. Demuestra que hay 3 estudiantes, todos de distintos planetas, que son los 3 amigos entre si.
Problema 2: Demuestra que si a,b,c son números reales positivos entonces
((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
Problema 2
ResponderBorrar((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
<=> ((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))/9>=(a^2)(b^2)(c^2)
que podemos reescribirlo de la siguiente manera:
(((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3)*((a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3)>=a^2b^2c^2
ahora, por separado tenemos por la media aritmética media geométrica que:
((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3>=((a^2b)(b^2c)(ac^2))^(-3)=((a^3)(b^3)(c^3))^(-3)=abc
tambien sabemos que
(a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3>=(a(b^2)b(c^2)(a^2)c)^(-3)=((a^3)(b^3)(c^3))^(-3)=abc
a partir de esto tenemos
(((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3)*((a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3)>=(abc)(abc)=(a^2)(b^2)(c^2)
que era lo que teníamos que demostrar para que ((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
solucion del problema 2:
ResponderBorrarnotemos que:
((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)/3>=abc
(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))/3>=abc
esto por la desigualdad media aritmetica-media geometrica
entonces:
(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)>=3abc
a(b^2)+b(c^2)+c(a^2)>=3abc
y multiplicando ambas desigualdades obtenemos:
((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
como queriamos probar
donde puse que era a la -3, era a la 1/3:
ResponderBorrarProblema 2
((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
<=> ((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))/9>=(a^2)(b^2)(c^2)
que podemos reescribirlo de la siguiente manera:
(((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3)*((a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3)>=a^2b^2c^2
ahora, por separado tenemos por la media aritmética media geométrica que:
((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3>=((a^2b)(b^2c)(ac^2))^(1/3)=((a^3)(b^3)(c^3))^(1/3)=abc
tambien sabemos que
(a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3>=(a(b^2)b(c^2)(a^2)c)^(1/3)=((a^3)(b^3)(c^3))^(1/3)=abc
a partir de esto tenemos
(((a^2)b+(b^2)c+a(c^2))/3)*((a(b^2)+b(c^2)+(a^2)c)/3)>=(abc)(abc)=(a^2)(b^2)(c^2)
que era lo que teníamos que demostrar para que ((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
Problema 2:
ResponderBorrarTenemos que ((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2 es lo mismo que a^3b^3 + a^4bc + b^4ac + b^3c^3 + c^4ab + c^3a^3 >= 6a^2b^2c^2. Solo multiplique los dos polinomios y pase restando los 3a^2b^2c^2 que se forman.
ahora de aqui podemos notar que:
(a^4bc + b^3c^3)/2 >= a^2b^2c^2
(b^4ac + a^3c^3)/2 >= a^2b^2c^2
(c^4ba + b^3a^3)/2 >= a^2b^2c^2
Por la media aritmética media geométrica. Ahora:
a^4bc + b^3c^3 >= 2a^2b^2c^2
b^4ac + a^3c^3 >= 2a^2b^2c^2
c^4ba + b^3a^3 >= 2a^2b^2c^2
Y sumandolas nos queda:
a^4bc + b^3c^3 + b^4ac + a^3c^3 + c^4ba + b^3a^3 >= 6a^2b^2c^2
que es lo que queriamos probar.
para el dos, dividimos entre nueve y por la MG MA sabemos que (a^2)b+(b^2)c+(c^2)a>=abc y a(b^2)+b(c^2)+c(a^2)>=abc
ResponderBorrarSolucion 2:
ResponderBorrar(Denotare x a la n como x*n)
Por la desigualdad media aritmetica-geometrica, tenemos que:
[((a*2)b +(b*2)c +(c*2)a)/3][(a(b*2) +b(c*2) +c(a*2))/3] >= [((a*2)b(b*2)c(c*2)a)*(1/3)][(a(b*2)b(c*2)c(a*2))*(1/3)]
[((a*2)b +(b*2)c +(c*2)a)/3][(a(b*2) +b(c*2) +c(a*2))/3] >= (abc)(abc)
[(a*2)b +(b*2)c +(c*2)a][a(b*2) +b(c*2) +c(a*2)] >= 9(a*2)(b*2)(c*2)
Lo que se queria demostrar.
para el dos, pasamos dividiendo el nuevo y como los dos terminos se multiplican, factorizamos el nueve en tres y tres. Aplicamos media geometrica aritmetica en los terminos por separado y queda que cada uno es > abc. los multiplicamos y queda que a^2.b^2.c^2< a lo otro jeje, como queriamos
ResponderBorrarPor MG MA sabemos que
ResponderBorrar((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)/3>=abc
y
(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))/3>=abc
=>
[((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))]/9 >= a^2b^2c^2
.˙.
((a^2)b+(b^2)c+(c^2)a)(a(b^2)+b(c^2)+c(a^2))>=9a^2b^2c^2
Problema 1:
ResponderBorrarConsideremos la persona A que tiene más amigos de un solo planeta. SPG supongamos que es de Júpiter y conoce a k personas de Marte.
(k es el máximo número de amigos que puede tener una persona en un planeta)
Ahora como tiene n+1 amigos y solo hay n personas en Marte tiene que tener al menos un amigo B en la Tierra.
Ahora supongamos que no se forma un triángulo de amigos, entonces B no puede ser amigo de ninguno de los amigos de A, por lo tanto B conoce a a lo mas n-k personas de Marte, pero como tiene al menos n+1 amigos entonces tiene que tener al menos k+1 amigos en Júpiter, lo cual es una contradicción por que habiamos supuesto que A era la persona que más amigos tenía de un solo planeta.
Por lo tanto si se forma un tríangulo de amigos de distintos planetas que es lo que queríamos probar.
Problema 2:
ResponderBorrarSolución 1: Aplicando MG-MA obtenemos que
(a^2b+b^2c+c^2a)/3>=abc (1)
y tambien obtenemos que
(b^2a+c^2b+a^2c)/3>=abc (2)
y sabemos que
9=9 (3)
Multiplicando (1),(2) y (3) obtenemos lo que queremos.
Solución 2:
Como todos los terminos de la desigualdad tienen grado 6 podemos suponer que abc=1.
Por lo tanto la desigualdad es equivalente a probar que
(a/c+b/a+c/b)(b/c+c/a+a/b)>=9
Definiendo x=a/c y=b/a z=c/b la desigualdad es equivalente a demostrar:
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 que es una desigualdad conocida.
Mi primera solución del blog y es para el problema 2.
ResponderBorrarPrimero desarrollamos la parte izquierda y pasas restando los (a^2)(b^2)(c^2), del lado derecho te queda 6(a^2)(b^2)(c^2) y del izquierdo 6 términos,divides entre 6 y aplicas medias geométrica y aritméticaal lado izquierdo y te queda demostrar que:
la raíz sexta de (a^12)(b^12)(c^12) es mayor o igual a (a^2)(b^2)(c^2), que son iguales.
Problema 1
ResponderBorrarPor principio extremo
Sean X,Y,Z
Sea A el estudiante con más amigos de un planeta, A es del planeta X, tiene m amigos del planeta Y , donde m<=n
.˙. tiene al menos un amigo B del planeta Z, => B no puede ser amigo de ninguno de los m amigos de A en Y, => tiene a lo más n-x amigos en Y
.˙. tiene al menos (n+1)-(n-x)= x+1 amigos de X
pero A era el estudiante con más amigos de un planeta
Contradicción
entonces sí existen 3 estudiantes de diferentes planetas que son amigos entre sí.
Aunque Georges ya publicó esa solución así me salió, sigo buscando otra solución pero ya son las 10 entonces prefiero publicar esta y si mas tarde me sale otra la publicaré.
Sean X,Y,Z los planetas *
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