Entrenamiento 8 de Octubre

Hola a Todos

Espero que vean el blog. Les pongo una lista de problemas con la cual trabajaran mañana viernes, coordinados por Daniel Perales.

1. En un triàngulo ABC con angulo recto en C, sea CH la altura, CM la bisectriz del angulo ACH y sea CN la bisectriz del angulo BCH donde M y N estan sobre AB. Si el circuncentro del triangulo CMN y el incentro del triangulo ABC coinciden, muestra que el area del triángulo ABC esta dado por el numero (AN) (BM)/2.

2 .Muestra que la sucesion 2^n-3 para n=2,3,... contiene un numero infinito de terminos divisibles entre 5 y un numero infinito de terminos divisibles entre 13 pero ningun termino divisible entre 5 x 13.

3. Encuentra todos los numeros naturales n para lo cuales n^4 + 4^n es primo.

4. Sea ABCD un cuadrilatero convexo con AB=AC=BD. Las diagonales se intersectan en el punto P y sean I y O el incentro y circuncentro del triangulo APB, respectivamente. Muestra que DI^2-CI^2= DO^2-CO^2.

5. En cierto torneo, cada dos jugadores jugaron un juego exactamente y no hubo empates. A un jugador X se le otorga un premio si para cada jugador Y, X derrota a Y o X derrota algun jugador Z que le gano a Y. Muestra que si solo a un jugador se le da un premio entonces este jugador les gano a todos los otros jugadores.

6. Defina a_n como el digito de las unidades del numero 1^2+2^2+ ··· + n^2. Determina si el
numero 0.a_1a_2a_3... es racional o irracional.

7. En un tablero infinito, un numero finito de casillas se pintan de negro. Un nuevo tablero se produce bajo las siguientes reglas: una casilla es negra si y solo si al menos tres de sus cuatro casillas vecinas estaban negras en el paso anterior. El proceso se repite. Muestra que eventualmente todas las casillas negras desaparecen.

8. El incirculo del triangulo ABC tiene centro I y es tangente a BC en D. Sea E el punto medio de BC y sea F el punto medio de AD. Muestra que E, I y F son colineales.