pues, para el 1 tenemos que lo podemos reescribir como:1^2/a + 1^2/b + 2^2/c + 4^2/dy por la desigualdad util1^2/a + 1^2/b + 2^2/c + 4^2/d >= (1+1+2+4)^2/a+b+c+d = 8^2/a+b+c+d = 64/a+b+c+dy para el 2 hacemos lo siguiente:a^3/b(a/a) + b^3/c(b/b) + c^3/a(c/c) >= ab+bc+ca<=> a^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= ab+bc+cay aplicamos la desigualdad util a el miembro izquierdo, y nos queda que:a^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= (a^2+b^2+c^2)^2/ab+bc+cay con estoa^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= ab+bc+ca<=> (a^2+b^2+c^2)^2/ab+bc+ca >= ab+bc+ca<=> (a^2+b^2+c^2)^2 >= (ab+bc+ca)^2<=> (a^2+b^2+c^2) >= (ab+bc+ca)<=> 2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)<=> (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 >= 0lo cual es claramente cierto, pues, todo cuadrado es >= 0
Bien!!!!
Tenemos que 1/a+1/b+4/c+16/d=1^2/a+1^2/b+2^2/c+4^2/d y por la util tenemos que 1^2/a+1^2/b+2^2/c+4^2/d ≥(1+1+2+4)^2/((a+b+c+d) )= 8^2/((a+b+c+d) )=64/((a+b+c+d) ) y con esto ya probamos que 1/a+1/b+4/c+16/d≥64/((a+b+c+d) el segundo aun no me sale
pues, para el 1 tenemos que lo podemos reescribir como:
ResponderBorrar1^2/a + 1^2/b + 2^2/c + 4^2/d
y por la desigualdad util
1^2/a + 1^2/b + 2^2/c + 4^2/d >= (1+1+2+4)^2/a+b+c+d = 8^2/a+b+c+d = 64/a+b+c+d
y para el 2 hacemos lo siguiente:
a^3/b(a/a) + b^3/c(b/b) + c^3/a(c/c) >= ab+bc+ca
<=> a^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= ab+bc+ca
y aplicamos la desigualdad util a el miembro izquierdo, y nos queda que:
a^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= (a^2+b^2+c^2)^2/ab+bc+ca
y con esto
a^4/ab + b^4/bc + c^4/ca >= ab+bc+ca
<=> (a^2+b^2+c^2)^2/ab+bc+ca >= ab+bc+ca
<=> (a^2+b^2+c^2)^2 >= (ab+bc+ca)^2
<=> (a^2+b^2+c^2) >= (ab+bc+ca)
<=> 2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)
<=> (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0
<=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 >= 0
lo cual es claramente cierto, pues, todo cuadrado es >= 0
Bien!!!!
ResponderBorrarTenemos que 1/a+1/b+4/c+16/d=1^2/a+1^2/b+2^2/c+4^2/d y por la util tenemos que 1^2/a+1^2/b+2^2/c+4^2/d ≥(1+1+2+4)^2/((a+b+c+d) )= 8^2/((a+b+c+d) )=64/((a+b+c+d) ) y con esto ya probamos que 1/a+1/b+4/c+16/d≥64/((a+b+c+d)
ResponderBorrarel segundo aun no me sale