Nos fijamos en que DQ es la diagonal de un cuadrado, entonces <DQC=45=<QDC=<ADQ. Luego, queremos probar que <DBC+<DPC=45, lo cual es análogo a probar que <DBC+<DPC=<ADQ. Sea <DBQ=x y <BDP=z. Por paralelas, <BDA=x y <DPC=x+z. Entonces, basta probar que <PDQ=x para terminar. Que esto pase, es análogo a demostrar que ▲PDQ~▲DBQ y para probar esto sólo hace falta probar que PQ/DQ=DQ/BQ, ya que los triángulos comparten el ángulo en Q; pero esto es equivalente a DQ²=BQ*PQ. DQ², por Pitágoras en el triángulo ▲DQC, es igual a 2(DC)² y BQ*PQ=2DC*DC=2(DC)². Y eso es lo que queríamos ver.■
Ya me salió.
ResponderBorrarSe prueba que <PDQ = <DBP por potencia desde Q viendo que DQ es tangente al circuncírculo de BPD en D. Terminar es trivial.
Nos fijamos en que DQ es la diagonal de un cuadrado, entonces <DQC=45=<QDC=<ADQ. Luego, queremos probar que <DBC+<DPC=45, lo cual es análogo a probar que <DBC+<DPC=<ADQ. Sea <DBQ=x y <BDP=z. Por paralelas, <BDA=x y <DPC=x+z. Entonces, basta probar que <PDQ=x para terminar. Que esto pase, es análogo a demostrar que ▲PDQ~▲DBQ y para probar esto sólo hace falta probar que PQ/DQ=DQ/BQ, ya que los triángulos comparten el ángulo en Q; pero esto es equivalente a DQ²=BQ*PQ. DQ², por Pitágoras en el triángulo ▲DQC, es igual a 2(DC)² y BQ*PQ=2DC*DC=2(DC)². Y eso es lo que queríamos ver.■
ResponderBorrar