No sean Cuadrados

Me puse a revisar los problemas que he puesto en el blog y recordé algunos trucos útiles que les pueden servir, para los problemas que puse y que después pondré.


¿Como demostrar que un número (digamos n) NO es un cuadrado perfecto?

Truco 1
Ver módulos, he notado que la mayoría de los problemas de números que he puesto salen con Módulos, así que sugiero primero que nada intentar módulos. En el caso de cuadrados los más útiles son 3,4 y 5. La idea es ver que n=2 mod3 o que n=2,3 mod 4 o que n=2,3 mod5 y así fácilmente ver que n no es cuadrado, a veces pueden ser útiles otros módulos.

Truco 2
Por contradicción, Esto es si en algún momento tienen una ecuación algo así como n=a^2 + k (osea n es un cuadrado más algo) supongan que n si es cuadrado: n=b^2 y hagan diferencia de cuadrados, les quedará algo asi como k=(b+a)(b-a) y dependiendo que les diga el problema pueden llegar a una contradicción.

Truco 3
Encerrar a n entre dos cuadrados consecutivos, esto es ver que hay un entero a tal que a^2 < n < [a+1]^2. Ya sabiendo esto, pueden concluir que n no será cuadrado.

Truco 4
Ver que hay algún factor primo que solo aparece una vez. Esto es, encontrar un primo p que divida a n pero que p^2 no divide a n y esto implica que n no podrá ser un cuadrado.
Ejemplo: Demostrar que 20000(los ceros que quieran)0004 no es un cuadrado perfecto.
Sumando los dígitos podemos ver que el numero es congruente con 0 (mod3) y con 6 (mod9) por lo que 3 lo divide pero 9 no y por lo tanto no puede ser perfecto.

Cuando quieran demostrar que algo no es un cuadrado perfecto tengan en cuenta estos 4 trucos, seguro alguno (o varios) funcionarán. Con la practica sabrán detectar cual les puede ser más útil, pero si no se les ocurre cual usar intenten todos y alguno matará el problema.