1) Sean D, E, F, los puntos de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, tales que D esté en la mitad del perímetro a partir de A (DB+BA=DC+CA), E en la mitad a partir de B, y F en la mitad a partir de C. Demuestra que AD, BE, CF son concurrentes.
2) Sea ABCDEF un hexágono convexo inscrito en un círculo. Demuestra que las diagonales AD, BE y CF son concurrentes si y sólo si (AB/BC) ·(CD/DE) ·(EF/FA)= 1.
En el 1 solo llego a que AF+BD+CE=BF+CD+AE y creo que voy mal...
ResponderBorraren el primero nos damos cuanta que como todos son (perimetro/2), todas las relaciones son iguales entre si.
ResponderBorrarAF+FB+BD=DC+CE+EA=BD+DC+CE=FA+AF+FB=CE+EA+AF=FB+BD+DC. LUEGO SOLO NOS TENEMOS QUE FIJAR EN UNAS IGUALDADES PARA VER que AF=DC=a y que FB=BD=CF=FA=b y ya con eso, ceva nos queda
b/a*a/b*a/a=1 lo cual es claramente cierto y si concurren
Tienes un error Anthony, si esta bien la idea, solo que FB=BD=CF=FA segun yo no se cumple, hay algo raro ahi
ResponderBorrarSugerencia:
ResponderBorrar1) Usar Menelao, viendo que los 3 segmentos que te quedan multiplicando son igualesa los 3 que dividen.
2) Trazar el triangulo ACE y llamar X,Y,Z a las intersecciones de AD con CE, BE con AC y CF con AE. Entonces AD, BE y CF son concurrentes si y sólo si (EX/XC)(CY/YA)(AZ/ZE)=1
Usen semejanza de triangulos .
El prblema nos dice que AF+AC=BC+BF, BD+AB=CD+AC, CE+BC=AB+AE. Pero como sabemos que todos son la mitad del perimetro, todos son iguales, por lo tanto AF+AC=CD+AC, BD+AB=AB+AE y CE+BC=BC+BF y de esto nos queda que AF=CD, BD=AE y CE=BF y de esto AF/CD=1, BD/AE=1 y CE/BF=1. los multiplicamos (AF/CD)(BD/AE)(CE/BF)= 1 y por ceva terminamos.
ResponderBorraren el primero me equivoque en mis ecuaciones, tenemos que AF=DC, FB=CE y BD=AE y ya por ceva terminamos.
ResponderBorraren el dos tenemos que los triangulos ABY y ECY son semejantes por que es un cuadrilatero ciclico. entonces tenemos que AB/BY=EC/CY y que BY/BC=AY/AE, multiplicandolas nos da que AB/BC=AY/AE*EC/CY. Analogamente hacemos en los demas triangulos y nos da cosas parecidas con lo cual nos queda que AB/BC*CD/DE*EF/FA=AY/CY*CX/EX*EZ/AZ, de lo cual lo segundo si es igual a uno, por ceva tenemos que concurren por lo tanto concurren si y solo si lo primero es igual a 1, como queriamos.