Semana intensiva
Como ya saben, habrá semana intensiva de Lunes a Sábado, así que no pondré problemas esta semana.
Problemas 25 de julio
1) Encuentra el menor entero positivo que es múltiplo común de 4 y 6 tal que cada dígito es 4 o 6 y tiene al menos un dígito 4 y un dígito 6.
2) Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que AB=CD, ∠BCD=57°, y ∠ADB +∠CBD = 180°.
Cuanto vale el angulo ∠BAD ?
La idea es que hagan los problemas lo más rápido posible, para practicar velocidad.
Art and Craft of Problem solving
Hola a todos!! Bueno pues como les dije, ya vamos a empezar a poner problemas, informacion y cosas asi en el blog. Es importante que intenten los problemas, y que escriban sus soluciones o sus intentos de soluciones para que les podamos dar retroalimentacion ( y para ver que si los estan intentando)...
Les dejo el link del libro que les platique "Art and craft of problem solving". Considero que les puede dar muchas ideas para resolver problemas. Los capitulos que considero importantes son el 1,2 y 3. Leanlo, esta interesante y les va a ayudar mucho. (Esta en ingles, pero pues el ingles es muy importante en la vida, asi que ya es momento que empiezen a leer en ingles, si no entienden pues para eso esta el diccionario)
http://kheavan.files.wordpress.com/2010/06/paul-zeitz-author-the-art-and-craft-of-problem-solving-2edwiley20060471789011.pdf
Problema 2 de julio
Encuentra todos los enteros positivos que sean 700 veces la suma de sus dígitos.
Teorema de la bisectriz
Sea ABC un triangulo y AD la bisectriz del ángulo en A (con D en BC). Entonces se tiene la siguiente igualdad BD/DC=BA/AC.
Este teorema es muy útil. Siempre que tengan una bisectriz acuérdense de el.
Creo que es necesario saber este problema para resolver un problema de la ultima lista que les di.
Este teorema es muy útil. Siempre que tengan una bisectriz acuérdense de el.
Creo que es necesario saber este problema para resolver un problema de la ultima lista que les di.
Problemas de la lista de geometría
La idea de esta semana es que en sus tiempos libres intenten la lista de problemas que les di el sábado (y también les envié por correo) que es para que practiquen semejanza. Especial me gustaría que hagan el problema 22.
Mañana en la tarde o noche escribiré en los comentarios algunas (si puedo todas) soluciones de los problemas de la lista.
26 OMM
Hola a todos los que están en la 3ra etapa dela OMMM.
En este blog estaremos poniendo problemas, trucos y teoría para quienes quieran estudiar un poco en sus ratos libres, como les dije no es obligatorio (pero tal ves lo sea después), pero les sera muy útil.
Pueden ver que hay muchas entradas antiguas con problemas, pero les recomiendo que no las intenten (aun), ya que son problemas un poco complicados,yo les diré cuando sea tiempo. Por el momento concéntrense en los que ponga después de este post. Por favor, todos los que ya hayan entrado escriban cualquier comentario (diciendo lo que quieran) para saber ya entraron.
Saludos
En este blog estaremos poniendo problemas, trucos y teoría para quienes quieran estudiar un poco en sus ratos libres, como les dije no es obligatorio (pero tal ves lo sea después), pero les sera muy útil.
Pueden ver que hay muchas entradas antiguas con problemas, pero les recomiendo que no las intenten (aun), ya que son problemas un poco complicados,yo les diré cuando sea tiempo. Por el momento concéntrense en los que ponga después de este post. Por favor, todos los que ya hayan entrado escriban cualquier comentario (diciendo lo que quieran) para saber ya entraron.
Saludos
Problema 16 de Mayo
Sea a > 1 un número real y n un entero positivo. Muestra que:
a^n -1 >= n {a^[(n+1)/2]- a^[(n-1)/2]}
Problema 9 de Mayo
Un pirata reparte su tesoro en 2012 cofres numerados del 1 al 2012 y ademas en cada cofre guarda al azar las 2012 llaves que abren esos 2012 cofres (una llave en cada cofre) si se logran abrir el cofre 1 y el cofre 2 (forzándolos) ¿en cuantos acomodos sera posible que por como quedaron las llaves se puedan abrir todos los cofres?
Problema 8 de mayo
Sean AX,BY,CZ tres cevianas que concurren dentro del tiangulo ABC en el punto D. Prueba que si dos de los cuadriláteros DYAZ, DZBX, DXCY son cíclicos, el tercero también lo es.
Problema 7 de Mayo
Encuentra el mayor entero N que cumple las siguientes propiedades:
a) N tiene todos sus dígitos distintos
b) todo dígito de N divide a N
Problema 4 de Mayo
Coloque un caballo de ajedrez sobre un tablero de 4 por n. Es posible, que en 4n movimientos consecutivos del caballo, pueda visitar cada casilla del tablero y regresar a la casilla de inicio?
Problema 3 de Mayo
Rogelio está resolviendo problemas en orden. Para ver como va, hace una cuenta de la cantidad de problemas que resuelve. El n umero r(k) es la cantidad de problemas que resolvió tras intentar los primeros k. Se da cuenta que al inicio de la tarde la proporción de problemas que había resuelto (es decir r(k)/k) era menor a 80% y al final de la tarde la proporción era mayor a 80%.
¿Necesariamente hubo algún momento en el que la proporción fuera exactamente 80%?
Problema 2 de Mayo
Determina todos los enteros que son primos relativos a todos los numeros de la sucesión a_n = 2^n + 3^n + 6^n − 1.
[es lo mismo que: encuentra todos los n tales que 1=(n,a_1)=(n,a_2)=(n,a_3)=(n,a_4)=.... ]
Problema 1 de Mayo
Sean 1 ≤ r ≤ n y considera todos los subconjuntos de r elementos del conjunto {1, 2, ...,n}. Cada uno
de estos conjuntos tiene un elemento más pequeño. Sea F(n, r) la media aritmética de todos éstos números. Demuestra
que F(n, r) =(n + 1)/(r + 1)
Problema 30 de Abril
Sea a_1, a_2, a_3, ... una sucesión infinita de enteros con una cantidad infinita de términos positivos y una cantidad infinita de términos negativos. Se sabe que para cualquier n, los números a_1, a_2, ... , a_n dejan n residuos distintos al dividirlos por n. Demuestra que cada entero aparece exactamente una vez en la sucesión.
Problema 27 de Abril
Dos circunferencias Γ1 y Γ2 están contenidas en el círculo Γ y son tangentes a Γ en los puntos distintos M y N, respectivamente. Γ1 pasa por el centro de Γ2. La recta que pasa por los puntos de intersección de Γ1 y Γ2 intersecta a Γ en A y B, respectivamente. Las líneas MA y MB intersectan a Γ1 en C y D, respectivamente. Prueba que CD es tangente a Γ2.
Problema 26 de Abril
En una mesa hay cartas con los números 0, 1, 2,..., 1024. Diego y Víctor juegan por turnos a quitar cartas
de la mesa. Primero Víctor quita 2^9 cartas, luego Diego quita 2^8, luego Víctor quita 2^7 y así siguen jugando hasta que quedan
exactamente dos números a y b. Al final Diego le paga |a−b| pesos a Víctor. Cuál es la mayor cantidad de dinero que Víctor puede
asegurar que va a ganar?
Problema 25 de Abril
Encontrar las soluciones reales (w,x,y,z) del sistema: w = x + y + z ; 1/w = 1/x + 1/y + 1/z.
Problema 23 de Abril
Sea ABCD un rectángulo con BC=3AB. Y sean P y Q puntos que trisectan al lado BC (BP=PQ=QC). Muestra que angDBC+angDPC=angDQC.
Problema 20 de Abril
Tenemos una tabla de 3 filas por 10 columnas
La primera fila de la tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden. La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden. En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba. ¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?
La primera fila de la tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden. La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden. En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba. ¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?
Problema 19 de Abril
Si a,b y c son reales positivos. Muestra que
a/(b + 2c) + b/(c + 2a) + c/(a + 2b) >= 1
a/(b + 2c) + b/(c + 2a) + c/(a + 2b) >= 1
Problema 18 de abril
a) Encontrar las parejas (x,y) de enteros positivos tales que x^2 - 13(y!) = 2012
b) Sean k,x,y,z reales tales tales que x+y+z=3k y x^2+y^2+z^2=3k^2 muestra que x=y=z=k
b) Sean k,x,y,z reales tales tales que x+y+z=3k y x^2+y^2+z^2=3k^2 muestra que x=y=z=k
Problema 17 de abril
a) Encuentra el valor de (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) .... (2^(2^2012) + 1)
b) Prueba que un cuadrado se puede dividir en n cuadrados para cualquier n > 5.
b) Prueba que un cuadrado se puede dividir en n cuadrados para cualquier n > 5.
Problema 16 de abril
Demuestra que para toda n > 4 se pueden dividir los números del 1 al n en dos grupos de tal forma que el producto de los números del primer grupo sea igual a la suma de los números del segundo grupo.
Problema 13 abril
Una compañía de soldados es tal que:
a) n es un número capicua y
b) si se forman en filas de 3 sobran 2 personas, si se forman en filas de 4 sobran 3 y si se forman en filas de 5 quedan exactamente.
Hallar el menor número de soldados que puede haber en la compañía.
a) n es un número capicua y
b) si se forman en filas de 3 sobran 2 personas, si se forman en filas de 4 sobran 3 y si se forman en filas de 5 quedan exactamente.
Hallar el menor número de soldados que puede haber en la compañía.
Problema 12 de Abril
Si a,b,c son reales positivos y a^2 + b^2 + c^2 = 3. Demuestra que:
1/(1 + ab) + 1/(1 + bc) + 1/(1 + ca) >= 3/2
1/(1 + ab) + 1/(1 + bc) + 1/(1 + ca) >= 3/2
Problema 11 de Abril
Sean a,b y c enteros positivos. Muestra que es imposible que estos tres números: a^2 + b + c, b^2 + c + a, c^2 + a + b sean (los tres) cuadrados perfectos.
Problema 10 de Abril
1) Demuestra que un tablero de ajedrez de 8 × 8 no puede ser cubierto con 15 tetraminos “T” y un tetramino cuadrado(de 2 × 2). (son tetraminos de 4 casillas)
2) Un piso rectangular es cubierto por mosaicos de 2 × 2 y de 1 × 4. Uno de estos
mosaicos se rompió y hay uno nuevo disponible del otro tipo. Muestra que no importa como se arreglen los mosaicos, no se puede sustituir el roto por el nuevo.
2) Un piso rectangular es cubierto por mosaicos de 2 × 2 y de 1 × 4. Uno de estos
mosaicos se rompió y hay uno nuevo disponible del otro tipo. Muestra que no importa como se arreglen los mosaicos, no se puede sustituir el roto por el nuevo.
Como ver que n no es una potencia
Al escribir los trucos para ver que algo no es un cuadrado me di cuenta que prácticamente se pueden generalizar todos para una potencia k-esima. (se recomienda primero leer el post de abajo "no sean cuadrados")
Truco 1 (módulos)
Tal ves este es el menos útil, ya que para potencias grandes es difícil ponerse a calcular módulos, sin embargo puede servirnos para tratar con cubos en este caso los módulos más útiles serán 7 y 9 ya que en ambos casos los únicos cubos posibles son -1,0 y 1. (Esto es muy útil en los problemas del 21 de Marzo).
Truco 2 (contradicción)
en este caso si tienen que n=a^k + m (en particular si n=m+1 o si n=m-1 cuando la potencia es impar) pueden suponer que n=b^k y entonces pasar restando y factorizar:
m=b^k - a^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+ .....+ b^(k-1)] y dependiendo de lo que tengan en el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3 (encerrar)
pueden ver que a^k < n < [a+1]^k y entonces n no sera potencia k-esima
Truco 4
Si ven que hay algún primo p tal que p divide a n pero p^k no lo divide entonces n no ser potencia k-esima. (En particular pueden ver que p divide a n pero p^2 no, y entonces p^k tampoco)
Truco 1 (módulos)
Tal ves este es el menos útil, ya que para potencias grandes es difícil ponerse a calcular módulos, sin embargo puede servirnos para tratar con cubos en este caso los módulos más útiles serán 7 y 9 ya que en ambos casos los únicos cubos posibles son -1,0 y 1. (Esto es muy útil en los problemas del 21 de Marzo).
Truco 2 (contradicción)
en este caso si tienen que n=a^k + m (en particular si n=m+1 o si n=m-1 cuando la potencia es impar) pueden suponer que n=b^k y entonces pasar restando y factorizar:
m=b^k - a^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+ .....+ b^(k-1)] y dependiendo de lo que tengan en el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3 (encerrar)
pueden ver que a^k < n < [a+1]^k y entonces n no sera potencia k-esima
Truco 4
Si ven que hay algún primo p tal que p divide a n pero p^k no lo divide entonces n no ser potencia k-esima. (En particular pueden ver que p divide a n pero p^2 no, y entonces p^k tampoco)
No sean Cuadrados
Me puse a revisar los problemas que he puesto en el blog y recordé algunos trucos útiles que les pueden servir, para los problemas que puse y que después pondré.
¿Como demostrar que un número (digamos n) NO es un cuadrado perfecto?
Truco 1
Ver módulos, he notado que la mayoría de los problemas de números que he puesto salen con Módulos, así que sugiero primero que nada intentar módulos. En el caso de cuadrados los más útiles son 3,4 y 5. La idea es ver que n=2 mod3 o que n=2,3 mod 4 o que n=2,3 mod5 y así fácilmente ver que n no es cuadrado, a veces pueden ser útiles otros módulos.
Truco 2
Por contradicción, Esto es si en algún momento tienen una ecuación algo así como n=a^2 + k (osea n es un cuadrado más algo) supongan que n si es cuadrado: n=b^2 y hagan diferencia de cuadrados, les quedará algo asi como k=(b+a)(b-a) y dependiendo que les diga el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3
Encerrar a n entre dos cuadrados consecutivos, esto es ver que hay un entero a tal que a^2 < n < [a+1]^2. Ya sabiendo esto, pueden concluir que n no será cuadrado.
Truco 4
Ver que hay algún factor primo que solo aparece una vez. Esto es, encontrar un primo p que divida a n pero que p^2 no divide a n y esto implica que n no podrá ser un cuadrado.
Ejemplo: Demostrar que 20000(los ceros que quieran)0004 no es un cuadrado perfecto.
Sumando los dígitos podemos ver que el numero es congruente con 0 (mod3) y con 6 (mod9) por lo que 3 lo divide pero 9 no y por lo tanto no puede ser perfecto.
Cuando quieran demostrar que algo no es un cuadrado perfecto tengan en cuenta estos 4 trucos, seguro alguno (o varios) funcionarán. Con la practica sabrán detectar cual les puede ser más útil, pero si no se les ocurre cual usar intenten todos y alguno matará el problema.
¿Como demostrar que un número (digamos n) NO es un cuadrado perfecto?
Truco 1
Ver módulos, he notado que la mayoría de los problemas de números que he puesto salen con Módulos, así que sugiero primero que nada intentar módulos. En el caso de cuadrados los más útiles son 3,4 y 5. La idea es ver que n=2 mod3 o que n=2,3 mod 4 o que n=2,3 mod5 y así fácilmente ver que n no es cuadrado, a veces pueden ser útiles otros módulos.
Truco 2
Por contradicción, Esto es si en algún momento tienen una ecuación algo así como n=a^2 + k (osea n es un cuadrado más algo) supongan que n si es cuadrado: n=b^2 y hagan diferencia de cuadrados, les quedará algo asi como k=(b+a)(b-a) y dependiendo que les diga el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3
Encerrar a n entre dos cuadrados consecutivos, esto es ver que hay un entero a tal que a^2 < n < [a+1]^2. Ya sabiendo esto, pueden concluir que n no será cuadrado.
Truco 4
Ver que hay algún factor primo que solo aparece una vez. Esto es, encontrar un primo p que divida a n pero que p^2 no divide a n y esto implica que n no podrá ser un cuadrado.
Ejemplo: Demostrar que 20000(los ceros que quieran)0004 no es un cuadrado perfecto.
Sumando los dígitos podemos ver que el numero es congruente con 0 (mod3) y con 6 (mod9) por lo que 3 lo divide pero 9 no y por lo tanto no puede ser perfecto.
Cuando quieran demostrar que algo no es un cuadrado perfecto tengan en cuenta estos 4 trucos, seguro alguno (o varios) funcionarán. Con la practica sabrán detectar cual les puede ser más útil, pero si no se les ocurre cual usar intenten todos y alguno matará el problema.
Vacaciones!!!
Espero que se la pasen bien en sus vacaciones, durante esta semana no pondré nuevos problemas, mi idea es que si tienen tiempo revisen todos los problemas de este año que no han hecho los resuelvan y los escriban, ya les puse hint a todos (o la mayoría de ellos) lean los hints e inténtelos, también ya les puse comentarios a las soluciones que han escrito, revisen si tienen alguno mal. También quiero aprovechar esta semana para hacer como un resumen de los trucos e ideas útiles (básicamente los hints) que se utilizaron para resolver todos estos problemas, al final de la semana pienso escribir las soluciones completas de los problemas, sobre todo los más difíciles. Ya la próxima semana seguiré subiendo problemas como de costumbre.
Cualquier duda, comentario o sugerencia, escríbanme.
Si alguien extraña mucho los problemas del blog o ya es adicto a ellos díganme para ponerles más, jaja
Cualquier duda, comentario o sugerencia, escríbanme.
Si alguien extraña mucho los problemas del blog o ya es adicto a ellos díganme para ponerles más, jaja
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